Question

已知函數(shù)。

(1)若的單調(diào)減區(qū)間是,求實(shí)數(shù)a的值;

(2)若函數(shù)在區(qū)間上都為單調(diào)函數(shù)且它們的單調(diào)性相同，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)?、?是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，?<?，。求證：對(duì)任意的，不等式成立．

 

Answer 1

(1) (2) (3)略

【解析】

試題分析：(1) 由題得，以及的單調(diào)減區(qū)間,解得 ;

(2)函數(shù)在區(qū)間上都為單調(diào)函數(shù)且它們的單調(diào)性相同,轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題．

(3)由

又∵有兩個(gè)不相等的正跟?,?且?<?, ,得 , 即在上單調(diào)遞減,

設(shè), 求得 再利用單調(diào)性即可．

(1) 由題得,

要使的單調(diào)減區(qū)間是則,解得 ; (2分)

另一方面當(dāng)時(shí),

由解得,即的單調(diào)減區(qū)間是．

綜上所述． (4分)

(2), 函數(shù)在區(qū)間上都為單調(diào)函數(shù)且它們的單調(diào)性相同,

∴, ∴ (6分)

∵,又

∴ (8分)

(3)∵

又∵有兩個(gè)不相等的正跟?,?且?<?, ,∴

∴當(dāng)時(shí), , 即在上單調(diào)遞減,∴ (10分)

則對(duì)任意的,

設(shè), 則

當(dāng)時(shí), ∴在上單增, ∴, ∴也在上單增, (12分)

∴

∴不等式對(duì)任意的成立． (14分)

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間以及參數(shù)的取值范圍；不等式恒成立的問題；利用導(dǎo)數(shù)求極值．