Question

已知函數(shù)f(x)=(a-3b+9)ln(x+3)+

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x2+(b-3)x．
（I）當(dāng)0＜a＜1且，f′（1）=0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）已知f′(3)≤

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且對|x|≥2的實數(shù)x都有f'（x）≥0．若函數(shù)y=f′（x）有零點，求函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=f′（x）的圖象在x∈（-3，2）內(nèi)的交點坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=（a-3b+9）ln（x+3）+

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x²+（b-3）x可求得f′（x）=

x2+bx+a

x+3

（x＞-3），由f′（x）＞0可求其遞增區(qū)間，由f′（x）＜0可求其遞減區(qū)間；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及f′（3）≤

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⇒a≤-3b-8，|x|≥2且x＞-3，有f′（x）≥0，從而可判斷y=f′（x）的零點在[-2，2]內(nèi)，設(shè)g（x）=x²+bx+a，由

g(2)≥0 g(-2)≥0 -2≤- b 2 ≤2 b2-4a≥0

可求得b=-4，a=4，于是得f（x）=25ln（x+3）+

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x²-7x，構(gòu)造函數(shù)φ（x）=f（x）-f′（x），利用導(dǎo)數(shù)法可求得φ（x）與x軸有唯一交點，繼而求得a的值．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為（-3，+∞），…1′
f′（x）=

x2+bx+a

x+3

（x＞-3），由f′（1）=0⇒b=-a-1，
故f′（x）=

(x-1)(x-a)

x+3

…3′
∵0＜a＜1，
∴由f′（x）＞0得-3＜x＜a或x＞1，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-3，a），（1，+∞），
同理由f′（x）＜0得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（a，1），…5′
（Ⅱ）由（Ⅰ）及f′（3）≤

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⇒a≤-3b-8①
又由|x|≥2且x＞-3，有f′（x）≥0，
∴y=f′（x）的零點在[-2，2]內(nèi)，設(shè)g（x）=x²+bx+a，
則

g(2)≥0 g(-2)≥0 -2≤- b 2 ≤2 b2-4a≥0

⇒

a≥-4-2b a≥2b-4 -4≤b≤4 b2≥4a

，結(jié)合①解得b=-4，a=4，
∴f（x）=25ln（x+3）+

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2

x²-7x…9′
又設(shè)φ（x）=f（x）-f′（x），
∵φ′（x）=

(x-2)2

x+3

+

25

(x+3)2

-1，由-3＜x＜2得0＜（x+3）²＜25，
故φ′（x）＞0，φ（x）在（-3，2）上單調(diào)遞增，又φ（-2）=0，故φ（x）與x軸有唯一交點，
∴函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=f′（x）的圖象在x∈（-3，2）內(nèi)的交點坐標為（-2，16）…12′

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用f（x）的導(dǎo)數(shù)法分析得到，y=f′（x）的零點在[-2，2]內(nèi)是關(guān)鍵，突出構(gòu)造函數(shù)與函數(shù)與方程的思想的考查，屬于難題．