Question

已知橢圓+=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k₁，k₂
（1）當(dāng)點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k₁：k₂的值；
（2）求k₁：k₂的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意橢圓的離心率，2a=4，由此知橢圓方程為，直線l：x=-1，A（-2，0），B（2，0），
故C（-1，，D（-1，-）或C（-1，-），D（-1，），由此能得到k₁：k₂=3．
（2）因為，所以a=2c，b=，橢圓方程為3x²+4y²=12c²，A（-2c，0），B（2c，0），直線l：x=my-c，設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由，消x得，（4+3m²）y²-6mxy-9c²=0，再由韋達定理進行求解．
解答：解：（1）由題意橢圓的離心率，2a=4，所以a=2，c=1，b=，
故橢圓方程為，…（3分），
則直線l：x=-1，A（-2，0），B（2，0），
故C（-1，，D（-1，-）或C（-1，-），D（-1，），
當(dāng)點C在x軸上方時，，，
所以k₁：k₂=3，
當(dāng)點C在x軸下方時，同理可求得k₁：k₂=3，
綜上，k₁：k₂=3為所求．…（6分）
（2）解：因為，所以a=2c，b=，
橢圓方程為3x²+4y²=12c²，A（-2c，0），B（2c，0），直線l：x=my-c，
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由，消x得，（4+3m²）y²-6mxy-9c²=0，
所以…（8分）
故，①
由，及，…（9分）
得=，
將①代入上式得=，…（10分）
注意到y(tǒng)₁y₂0，得，…（11分）
所以k₁：k₂=3為所求．…（12分）
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．