Question

【題目】已知函數(shù)．

（）若曲線與直線相切于點，求點的坐標．

（）令，當時，求的單調(diào)區(qū)間．

（）當，證明：當， ．

Answer 1

【答案】（）（）單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為（）見解析

【解析】試題分析：

（1）設(shè)點，根據(jù)可解得，從而可得點的坐標．（2）由題意得，又， ，故．從而根據(jù)的符號可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。（3）結(jié)合（2），令，分①和②兩種情況都可證得當時， ．從而可得，即不等式成立。

試題解析：

（）設(shè)點，

由，得，

由題意得，解得，

∴，

∴點的坐標為．

（）由題意得，

∴，

∵， ，

∴．

由，解得，

由，解得.

∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．

（）由（2）得

設(shè)，則，

由，得，

①當時，

則，

∴在單調(diào)遞增，

∴，

②當時，

令，得，

當時， ， 單調(diào)遞減，

時， ， 單調(diào)遞增。

∴，

綜上當時， ．

∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

∴當極小值，也為最小值，且。

∴在成立．