Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+1）x+1-b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若a=1，關(guān)于x的不等式$\frac{f（x）}{x}$≥6在區(qū)間[1，3]上恒成立，求b的取值范圍；
（Ⅱ）若b=0，解關(guān)于x的不等式f（x）＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過a=1，化簡(jiǎn)關(guān)于x的不等式$\frac{f（x）}{x}$≥6，在區(qū)間[1，3]上恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解閉區(qū)間上的最小值，求解b的取值范圍；
（Ⅱ） 當(dāng)b=0時(shí)，不等式f（x）＜0化為（ax-1）（x-1）＜0，通過①當(dāng)a=0時(shí)，②當(dāng)a＜0時(shí)，③當(dāng)a＞0時(shí)，若a=1；若a＞1，若0＜a＜1，求解不等式解集即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=ax²-（a+1）x+1-b，a=1，關(guān)于x的不等式$\frac{f（x）}{x}$≥6，
化為：$\frac{{x}^{2}-2x+1-b}{x}≥6$，在區(qū)間[1，3]上恒成立，即x²-8x+1≥b，在區(qū)間[1，3]上恒成立，
y=x²-8x+1的對(duì)稱軸為：x=4，開口向上，函數(shù)在[1，3]是減函數(shù)，最小值為：f（3）=-14．
所以b的取值范圍為（-∞，-14]．（4分）
（Ⅱ） 當(dāng)b=0時(shí)，不等式f（x）＜0化為（ax-1）（x-1）＜0，（5分）
①當(dāng)a=0時(shí)，不等式解集為（1，+∞）；（6分）
②當(dāng)a＜0時(shí)，不等式解集為$（-∞，\frac{1}{a}）∪（1，+∞）$；（8分）
③當(dāng)a＞0時(shí)，不等式f（x）＜0化為$（x-\frac{1}{a}）（x-1）＜0$，（10分）
若a=1，不等式解集為∅；若a＞1，不等式解集為$（\frac{1}{a}，1）$；若0＜a＜1，不等式解集為$（1，\frac{1}{a}）$．
綜上所述：
①當(dāng)a＜0時(shí)，不等式解集為$（-∞，\frac{1}{a}）∪（1，+∞）$；
②當(dāng)a=0時(shí)，不等式解集為（1，+∞）；
③當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式解集為$（1，\frac{1}{a}）$；
④當(dāng)a=1時(shí)，不等式解集為∅；
⑤當(dāng)a＞1時(shí)，不等式解集為$（\frac{1}{a}，1）$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的最值，以及分類討論思想轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．