Question

已知定義在區(qū)間[0，2]上的兩個函數(shù)f（x）和g（x），其中f（x）=x²-2ax+4（a≥1），g(x)=

2x

x+1

．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值m（a）及g（x）的值域；
（2）若對任意x₁、x₂∈[0，2]，f（x₂）＞g（x₁）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，先將函數(shù)f（x）的解析式進行配方，然后討論對稱軸與區(qū)間[0，2]的位置關(guān)系，可求出函數(shù)y=f（x）的最小值m（a）；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)f（x）的最小值和g（x）的最大值，然后使f（x）_min＞g（x）_max，建立關(guān)系式，解之即可求出a的范圍．

解答：解：（1）由f（x）=x²-2ax+4=（x-a）²+4-a²，
得m(a)=

4-a2  ， 1≤a＜2 8-4a ，   a≥2

（2）g(x)=(x+1)+

1

x+1

-2，當(dāng)x∈[0，2]時，x+1∈[1，3]，
又g（x）在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，故g(x)∈[0，

4

3

]．
由題設(shè)，得f（x）_min＞g（x）_max，故

1≤a＜2 4-a2＞ 4 3

或

a≥2 8-4a＞ 4 3

解得1≤a＜

2 6

3

為所求的范圍．

點評：本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)恒成立問題，以及函數(shù)單調(diào)性的判定，屬于中檔題．