Question

9．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足${a_1}+3{a_2}+{3^2}{a_3}+…+{3^{n-1}}{a_n}=\frac{n}{3}（n∈{N^*}）$
（1）求a_n；
（2）設(shè)${b_n}=\frac{n}{a_n}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}滿足${a_1}+3{a_2}+{3^2}{a_3}+…+{3^{n-1}}{a_n}=\frac{n}{3}（n∈{N^*}）$，n≥2時，a₁+3a₂+…+3^n-2•a_n-1=$\frac{n-1}{3}$．相減可得a_n，驗證n=1時是否成立．
（2）${b_n}=\frac{n}{a_n}$=n•3ⁿ，利用錯位相減法可得數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}滿足${a_1}+3{a_2}+{3^2}{a_3}+…+{3^{n-1}}{a_n}=\frac{n}{3}（n∈{N^*}）$，
n≥2時，a₁+3a₂+…+3^n-2•a_n-1=$\frac{n-1}{3}$．
∴3^n-1a_n=$\frac{1}{3}$，解得a_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$．
n=1時，a₁=$\frac{1}{3}$，頁滿足上式．
∴${a_n}=\frac{1}{3^n}$．
（2）${b_n}=\frac{n}{a_n}$=n•3ⁿ，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，
3S_n=3²=2•3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹．
∴-2S_n=3+3²+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-n•3ⁿ⁺¹．
∴${S_n}=（\frac{n}{2}-\frac{1}{4}）{3^{n+1}}+\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式與求和公式、錯位相減法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．