【題目】已知函數(shù).
(I)若曲線存在斜率為-1的切線,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(II)求的單調(diào)區(qū)間;
(III)設(shè)函數(shù),求證:當(dāng)時(shí), 在上存在極小值.
【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ)答案見解析;(Ⅲ)證明見解析.
【解析】試題分析:
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),問題轉(zhuǎn)化為存在大于的實(shí)數(shù)根,根據(jù)在時(shí)遞增,求出的范圍即可;
(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論的范圍,判斷導(dǎo)數(shù)的符號,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(3)求出函數(shù),根據(jù),得到存在,滿足,從而讓得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間,求出函數(shù)的極小值,證處結(jié)論即可.
試題解析:
(I)由得.
由已知曲線存在斜率為-1的切線,所以存在大于零的實(shí)數(shù)根,
即存在大于零的實(shí)數(shù)根,因?yàn)?/span>在時(shí)單調(diào)遞增,
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(II)由可得
當(dāng)時(shí), ,所以函數(shù)的增區(qū)間為;
當(dāng)時(shí),若, ,若, ,
所以此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為.
(III)由及題設(shè)得,
由可得,由(II)可知函數(shù)在上遞增,
所以,取,顯然,
,所以存在滿足,即存在滿足,所以, 在區(qū)間(1,+∞)上的情況如下:
- 0 +
↘ 極小 ↗
所以當(dāng)-1<a<0時(shí),g(x)在(1,+∞)上存在極小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某輛汽車以千米/小時(shí)的速度在高速公路上勻速行駛(考慮到高速公路行車安全要求)時(shí),每小時(shí)的油耗(所需要的汽油量)為升,其中為常數(shù),且.
(1)若汽車以千米/小時(shí)的速度行駛時(shí),每小時(shí)的油耗為升,欲使每小時(shí)的油耗不超過升,求的取值范圍;
(2)求該汽車行駛千米的油耗的最小值.
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【題目】據(jù)報(bào)道,全國很多省市將英語考試作為高考改革的重點(diǎn),一時(shí)間“英語考試該如何改革”引起廣泛關(guān)注,為了解某地區(qū)學(xué)生和包括老師、家長在內(nèi)的社會人士對高考英語改革的看法,某媒體在該地區(qū)選擇了3600人進(jìn)行調(diào)查,就“是否取消英語聽力”問題進(jìn)行了問卷調(diào)查統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下表:
態(tài)度 調(diào)查人群 | 應(yīng)該取消 | 應(yīng)該保留 | 無所謂 |
在校學(xué)生 | 2100人 | 120人 | 人 |
社會人士 | 600人 | 人 | 人 |
(1)已知在全體樣本中隨機(jī)抽取人,抽到持“應(yīng)該保留”態(tài)度的人的概率為,現(xiàn)用分層抽樣的方法在所有參與調(diào)查的人中抽取人進(jìn)行問卷訪談,問應(yīng)在持“無所謂”態(tài)度的人中抽取多少人?
(2)在持“應(yīng)該保留”態(tài)度的人中,用分層抽樣的方法抽取人,再平均分成兩組進(jìn)行深入交流,求第一組中在校學(xué)生人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知定義在R上的函數(shù)在[0,7]上有1和6兩個(gè)零點(diǎn),且函數(shù)與函數(shù)都是偶函數(shù),則在[0,2019]上的零點(diǎn)至少有( )個(gè)
A.404B.406C.808D.812
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【題目】已知兩動圓和(),把它們的公共點(diǎn)的軌跡記為曲線,若曲線與軸的正半軸的交點(diǎn)為,且曲線上的相異兩點(diǎn)滿足:.
(1)求曲線的軌跡方程;
(2)證明直線恒經(jīng)過一定點(diǎn),并求此定點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)求面積的最大值.
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【題目】已知函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)右側(cè).
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)令,求的值(其中表示不超過的最大整數(shù),例如:,);
(3)對(2)中的求函數(shù)的值域.
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【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn), ,則下面說法正確的是( )
A. B. C. D. 有極小值點(diǎn),且
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【題目】已知函數(shù)的圖象過原點(diǎn),且在原點(diǎn)處的切線與直線垂直.(為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若對任意的,總有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,以O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),曲線C1的方程為ρ(ρ-4sin θ)=12,定點(diǎn)A(6,0),點(diǎn)P是曲線C1上的動點(diǎn),Q為AP的中點(diǎn).
(1)求點(diǎn)Q的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)直線l與直線C2交于A,B兩點(diǎn),若|AB|≥2,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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