Question

3．設(shè)函數(shù)y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{3}+{x}^{2}，x＜e}\\{alnx，x≥e}\end{array}\right.$的圖象上存在兩點P，Q，使得△POQ是以O(shè)為直角頂點的直角三角形（其中O為坐標原點），且斜邊的中點恰好在y軸上，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-1，$\frac{1}{e}$）
• B． （0，$\frac{1}{e+1}$]
• C． （0，$\frac{1}{e}$]
• D． （0，1）

Answer 1

分析 曲線y=f（x）上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求，則點P、Q只能在y軸兩側(cè)．設(shè)P（t，f（t））（t＞0），則Q（-t，t³+t²），運用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，構(gòu)造函數(shù)h（x）=（x+1）lnx（x≥e），運用導數(shù)判斷單調(diào)性，求得最值，即可得到a的范圍．

解答 解：假設(shè)曲線y=f（x）上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求，則點P、Q只能在y軸兩側(cè)．
不妨設(shè)P（t，f（t））（t＞0），則Q（-t，t³+t²），∵△POQ是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，
∴$\overline{OP}$•$\overline{OQ}$=0，即-t²+f（t）（t³+t²）=0 ①．
若方程①有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q；若方程①無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q．
若0＜t＜e，則f（t）=-t³+t²代入①式得：-t²+（-t³+t²）（t³+t²）=0，
即t⁴-t²+1=0，而此方程無解，因此t≥e，此時f（t）=alnt，
代入①式得：-t²+（alnt）（t³+t²）=0，
即$\frac{1}{a}$=（t+1）lnt ②，令h（x）=（x+1）lnx（x≥e），
則h′（x）=lnx+1+$\frac{1}{x}$＞0，∴h（x）在[e，+∞）上單調(diào)遞增，
∵t≥e，∴h（t）≥h（e）=e+1，∴h（t）的取值范圍是[e+1，+∞）．
∴對于0＜a≤$\frac{1}{e+1}$，方程②總有解，即方程①總有解．
故答案為：（0，$\frac{1}{e+1}$]．

點評 本題考查分段函數(shù)的運用，注意向量垂直條件的運用和中點坐標公式，考查構(gòu)造法和函數(shù)的單調(diào)性運用，屬于中檔題．