Question

設(shè)函數(shù)（x＞1）．
（I）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）若m，t∈R⁺，且，求證：；
（Ⅲ）若，且，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（I）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的最小值；
（Ⅱ）證明，只要證明≤1；
（Ⅲ）用數(shù)學(xué)歸納法，關(guān)鍵是證明當(dāng)n=k+1時不等式也成立，同時使用歸納假設(shè)．
解答：（I）解：求導(dǎo)數(shù)可得：（x＞1）
令f′（x）≥0，得x≥2，所以f（x）在（1，2）上遞減，在（2，+∞）上遞增．
所以f（x）_min=f（2）=-1．
（Ⅱ）證明：=-=-（）
=-[]
由（I）知當(dāng)x＞1時，，
又m，t∈R⁺，且，∴m＞1
∴≥-1
∴≤1
∴．
（Ⅲ）證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
1°當(dāng)n=1時，由（Ⅱ）可知，不等式成立；
2°假設(shè)n=k時不等式成立，
即若，且時，
不等式成立
現(xiàn)需證當(dāng)n=k+1時不等式也成立，
即證：若，且時，不等式
成立．
證明如下：設(shè)，則
∴
∴
∴+xlog₂x…①
同理+（1-x）log₂（1-x）…②
由①+②得：+[xlog₂x+（1-x）log₂（1-x）]
又由（Ⅱ）令，則，其中∈x（0，1），
則有≤1
∴xlog₂x+（1-x）log₂（1-x）≥-1
∴-k+[xlog₂x+（1-x）log₂（1-x）]≥-k-1
∴
∴當(dāng)n=k+1時，原不等式也成立．
綜上，由1°和2°可知，原不等式均成立．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查不等式的證明，考查數(shù)學(xué)歸納法的運用，解題的關(guān)鍵是數(shù)學(xué)歸納法的第2步，有難度．