Question

20．已知x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x-y-1≤0}\\{2x+y-5≤0}\end{array}\right.$，關(guān)于目標(biāo)函數(shù)z=|x-y|+|x-2y-2|最值的說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 最小值0，最大值9
• B． 最小值2，最大值9
• C． 最小值3，最大值10
• D． 最小值2，最大值10

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，討論x-2y-2和x-y的符號(hào)，取得極大值，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖，
作出x-2y-2=0對(duì)應(yīng)的直線，則由圖象知平面區(qū)域都在直線x-2y-2=0的左上方，
即x-2y-2＜0，
則z=|x-y|+|x-2y-2|=|x-y|-（x-2y-2），
當(dāng)x-y≥0，對(duì)應(yīng)的區(qū)域在直線x-y=0的下方，即平面區(qū)域ABED，
此時(shí)z=|x-y|+|x-2y-2|=|x-y|-（x-2y-2）=x-y-x+2y+2=y+2，
即y=z-2，平移直線y=z-2，得當(dāng)直線經(jīng)過(guò)A（1，0）時(shí)，y最小，此時(shí)z最小，
即z=2，
當(dāng)經(jīng)過(guò)E時(shí)，y最大，此時(shí)z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{2x+y-5=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{3}}\\{y=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，即E（$\frac{5}{3}$，$\frac{5}{3}$），此時(shí)z=$\frac{5}{3}$+2=$\frac{11}{3}$，即此時(shí)2≤z≤$\frac{11}{3}$，
當(dāng)x-y＜0，對(duì)應(yīng)的區(qū)域在直線x-y=0的上方，即平面區(qū)域CDE，
此時(shí)z=|x-y|+|x-2y-2|=|x-y|-（x-2y-2）=-x+y-x+2y+2=-2x+3y+2，
即y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{z}{3}$-$\frac{2}{3}$，平移直線y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{z}{3}$-$\frac{2}{3}$，得當(dāng)直線經(jīng)過(guò)D時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x-y=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即D（1，1），此時(shí)z=-2+3+2=3，
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)C時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{2x+y-5=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，即C（1，3），此時(shí)z=-2+3×3+2=9，即此時(shí)3≤z≤9，
綜上2≤z≤9，
即最小值2，最大值9，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用分類討論以及數(shù)形結(jié)合，利用平移法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．