Question

已知數(shù)列{x_n}的首項(xiàng)x₁=3，通項(xiàng)x_n=2ⁿp+np（n∈N*，p，q為常數(shù)），且成等差數(shù)列．求：
（Ⅰ）p，q的值；
（Ⅱ）數(shù)列{x_n}前n項(xiàng)和S_n的公式．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)x₁=3，求得p，q的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)通項(xiàng)x_n=2ⁿp+np（n∈N*，p，q為常數(shù)），且成等差數(shù)列．建立關(guān)于p的方求得p，進(jìn)而求得q．
（Ⅱ）進(jìn)而根據(jù)（1）中求得數(shù)列的首項(xiàng)和公差，利用等差數(shù)列的求和公式求得答案．
解答：解：（Ⅰ）∵x₁=3，
∴2p+q=3，①
又x₄=2⁴p+4q，x₅=2⁵p+5q，且x₁+x₃=2x₄，
∴3+2⁵p+5q=2⁵p+8q，②
聯(lián)立①②求得 p=1，q=1
（Ⅱ）由（1）可知x_n=2ⁿ+n
∴S_n=（2+2²+…+2ⁿ）+（1+2+…+n）
=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本知識(shí)，考查運(yùn)算及推理能力．