Question

19．設(shè)a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=log_a|x²-（a+$\frac{1}{a}}）x+1}$）x+1|在[1，2]上是增函數(shù)，則a的取值范圍（　　）

• A． a≥2+$\sqrt{3}$
• B． 0＜a＜2-$\sqrt{3}$
• C． a≥2+$\sqrt{3}$或0＜a＜1
• D． a≥2+$\sqrt{3}$或0＜a＜2-$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由g（x）=x²-（a+$\frac{1}{a}}）x+1}$）x+1開口向上，對稱軸大于1，且g（1）＜0，可得y=|x²-（a+$\frac{1}{a}}）x+1}$）x+1|在[1，2]上是增函數(shù)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于a的不等式組求解．

解答 解：∵a＞0，∴a+$\frac{1}{a}}）x+1}$≥2，則函數(shù)y=x²-（a+$\frac{1}{a}}）x+1}$）x+1的對稱軸為x=$\frac{a+\frac{1}{a}}{2}≥1$，
令g（x）=x²-（a+$\frac{1}{a}}）x+1}$）x+1，∵g（1）=2-（a+$\frac{1}{a}$）＜0，
∴y=|x²-（a+$\frac{1}{a}}）x+1}$）x+1|在[1，2]上是增函數(shù)，
∴要使函數(shù)f（x）=log_a|x²-（a+$\frac{1}{a}}）x+1}$）x+1|在[1，2]上是增函數(shù)，
則$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{\frac{a+\frac{1}{a}}{2}≥2}\end{array}\right.$，解得a$≥2+\sqrt{3}$．
故選：A．

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．