已知a,b是不相等的正數(shù),在a,b之間分別插入m個正數(shù)a1,a2, ,am和正數(shù)b1,b2, ,

bm,使a,a1,a2, ,am,b是等差數(shù)列,a,b1,b2, ,bm,b是等比數(shù)列.

(1)若m=5,,求的值;

(2)若b=λa(λ∈N*,λ≥2),如果存在n (n∈N*,6≤n≤m)使得an-5=bn,求λ的最小值及此時m的值;

(3)求證:an>bn(n∈N*,n≤m).

 

(1);(2)最小值為4,此時為29;(3)詳見解析

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)題意m=5時,共有7項,設(shè)等差數(shù)列的公差為,等比數(shù)列的公比為,則,表示出,又由,可得到,解得;(2)由條件得,即,從而得,又由于,即,從而得,又題中有,可得, 化簡消去a得:,觀察此式結(jié)構(gòu)特征:,則要求為有理數(shù).即必須為有理數(shù),而,可將用數(shù)字代入檢驗: 若,則為無理數(shù),不滿足條件; 同理,不滿足條件; 當(dāng)時,.要使為有理數(shù),則必須為整數(shù),要滿足 ,可解得;(3)可假設(shè),為數(shù)列的前項的和,我們易先證:若為遞增數(shù)列,則為遞增數(shù)列;同理可證,若為遞減數(shù)列,則為遞減數(shù)列;由于a和b的大小關(guān)系不確定,故要對其分類討論:①當(dāng)時,.當(dāng)時,.即,即.因為,所以,即,即;②當(dāng)時,同理可求得

試題解析:(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,等比數(shù)列的公比為,

. 2分

因為,所以,解得. 4分

(2)因為,所以,從而得

因為,所以,從而得

因為,所以

因為,所以(*). 6分

因為,所以為有理數(shù).

要使(*)成立,則必須為有理數(shù).

因為,所以

,則為無理數(shù),不滿足條件.

同理,不滿足條件. 8分

當(dāng)時,.要使為有理數(shù),則必須為整數(shù).

又因為,所以僅有滿足條件.

所以,從而解得

綜上,最小值為4,此時為29. 10分

(3)設(shè),為數(shù)列的前項的和.

先證:若為遞增數(shù)列,則為遞增數(shù)列.

證明:當(dāng)時,

因為,所以,即數(shù)列為遞增數(shù)列.

同理可證,若為遞減數(shù)列,則為遞減數(shù)列. 12分

①當(dāng)時,.當(dāng)時,

,即

因為,

所以,即,即

②當(dāng)時,,當(dāng)時,

因為,所以.以下同①.

綜上,. 16分

考點:1.等差,等比數(shù)列的基本運算;2.函數(shù)的最值;3.代數(shù)式的處理

 

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在平面直角坐標系xOy中,設(shè)曲線C1:所圍成的封閉圖形的面積為

,曲線C1上的點到原點O的最短距離為.以曲線C1與坐標軸的交點為頂點的橢圓記

為C2.

(1)求橢圓C2的標準方程;

(2)設(shè)AB是過橢圓C2中心O的任意弦,l是線段AB的垂直平分線.M是l上的點(與O不重合).

①若MO=2OA,當(dāng)點A在橢圓C2上運動時,求點M的軌跡方程;

②若M是l與橢圓C2的交點,求△AMB的面積的最小值.

 

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如圖,在正四棱錐P-ABCD中,PA=AB=,點M,N分別在線段PA和BD上,BN=BD.

(1)若PM=PA,求證:MN⊥AD;

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③若m∥α,m⊥n,則n⊥α; ④若m∥α,mβ,則α∥β.

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