Question

13．設(shè)集合M={a₁，a₂，…a_n}（n∈N₊），對(duì)M的任意非空子集A，定義f（A）為A中的最大元素，當(dāng)A取遍M的所有非空子集時(shí)，對(duì)應(yīng)的f（A）的和為T_n，若a_n=2^n-1則：①T₃=21，②T_n=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$．

Answer 1

分析 ①由a_n=2^n-1，n=3時(shí)，M={1，2，4}，其非空子集A為{1}，{2}，{4}，{1，2}，{1，4}，{2，4}，{1，2，4}．即可得出T₃．．
②由題意得：在所有非空子集中每個(gè)元素出現(xiàn)2^n-1次．有2^n-1個(gè)子集含2^n-1，有2^n-2個(gè)子集不含2^n-1含2^n-2，…，依此類推可得：有2^k-1個(gè)子集不含2^n-1，2^n-2，…，2^k，而含有2^k-1．即可得出．

解答 解：①∵a_n=2^n-1，n=3時(shí)，M={1，2，4}，其非空子集A為{1}，{2}，{4}，{1，2}，{1，4}，{2，4}，{1，2，4}．
∴T₃=1+2+4+2+4+4+4=21．
②由題意得：在所有非空子集中每個(gè)元素出現(xiàn)2^n-1次．
有2^n-1個(gè)子集含2^n-1，有2^n-2個(gè)子集不含2^n-1含2^n-2，…，依此類推可得：有2^k-1個(gè)子集不含2^n-1，2^n-2，…，2^k，而含有2^k-1．
∵定義f（A）為A中的最大元素，
∴對(duì)應(yīng)的f（A）的和為T_n=2^n-1•2^n-1+2^n-2•2^n-2+…+2×2+1×1
=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$．
故答案分別為：21；$\frac{{4}^{n}-1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“分類討論”方法、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、集合的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．