Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，N（0，-1）為橢圓的一個頂點(diǎn)，且右焦點(diǎn)F₂到雙曲線x²-y²=2漸近線的距離為$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)．
①若NA，NB為鄰邊的平行四邊形為菱形，求m的取值范圍；
②若直線l過定點(diǎn)P（1，1），且線段AB上存在點(diǎn)T，滿足$\frac{|AP|}{|AT|}$=$\frac{|PB|}{|TB|}$，證明：點(diǎn)T在定直線上．

Answer 1

分析 解：（1）通過雙曲線x²-y²=2的漸近線方程為y=±x及點(diǎn)到直線的距離公式可知$\frac{|c|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，結(jié)合b=1、a²=b²+c²可求出a，b，c，進(jìn)而可得橢圓C的方程；
（2）①通過將直線l代入橢圓C方程，利用韋達(dá)定理，可得AB的中點(diǎn)S（$\frac{-5km}{1+5{k}^{2}}$，$\frac{m}{1+5{k}^{2}}$），利用NS⊥AB即k_NS=-$\frac{1}{k}$化簡可知5k²+1=4m，代入根的判別式可得結(jié)論；②通過設(shè)T（x，y），設(shè)$\overrightarrow{PA}$=-λ$\overrightarrow{AT}$，$\overrightarrow{PB}$=λ$\overrightarrow{BT}$（λ≠0，±1），可分別用λ、x、y表示出A、B兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，利用點(diǎn)A、B在橢圓C上整理即得結(jié)論．

解答 解：（1）因?yàn)殡p曲線x²-y²=2的漸近線方程為：y=±x，
所以由題可知：b=1，$\frac{|c|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，a²=b²+c²，
解得：c=2，b=1，a²=5，
所以橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1；
（2）①將直線l代入橢圓C得：（1+5k²）x²+10kmx+5m²-5=0，
△=20（1+5k²-m²）＞0，設(shè)A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），則
x₁+x₂=$\frac{-10km}{1+5{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{5{m}^{2}-5}{1+5{k}^{2}}$，
則AB的中點(diǎn)S（$\frac{-5km}{1+5{k}^{2}}$，$\frac{m}{1+5{k}^{2}}$），
因?yàn)镹A，NB為鄰邊的平行四邊形為菱形，
所以NS⊥AB，則k_NS=-$\frac{1}{k}$，
所以$\frac{\frac{m}{1+5{k}^{2}}+1}{\frac{-5km}{1+5{k}^{2}}}$=$\frac{5{k}^{2}+1+m}{-5km}$=-$\frac{1}{k}$，化簡得：5k²+1=4m，
代入△=20（1+5k²-m²）＞0，得：-m²+4m＞0，解得：0＜m＜4．
由5k²=4m-1＞0得：m＞$\frac{1}{4}$，
所以m的取值范圍為：（$\frac{1}{4}$，4）；
②設(shè)T（x，y），由題設(shè)|$\overrightarrow{PA}$|，|$\overrightarrow{PB}$|，|$\overrightarrow{AT}$|，|$\overrightarrow{TB}$|均不為零，且$\frac{|AP|}{|AT|}$=$\frac{|PB|}{|TB|}$，
又P，A，T，B四點(diǎn)共線，可設(shè)$\overrightarrow{PA}$=-λ$\overrightarrow{AT}$，$\overrightarrow{PB}$=λ$\overrightarrow{BT}$（λ≠0，±1），
于是x₁=$\frac{1-λx}{1-λ}$，y₁=$\frac{1-λy}{1-λ}$，x₂=$\frac{1+λx}{1+λ}$，y₂=$\frac{1+λx}{1+λ}$，
由于A、B兩點(diǎn)在橢圓C上，代入方程，得：
（x²+5y²-5）λ²-2（x+5y-5）λ+1=0，（x²+5y²-5）λ²+2（x+5y-5）λ+1=0，
兩式相減，得：4（x+5y-5）λ=0，
由λ≠0可知x+5y-5=0，即點(diǎn)T（x，y）在定直線x+5y-5=0上．

點(diǎn)評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，涉及求橢圓的方程、定直線問題，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．