Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-a|+b，g（x）=x+c（其中a、b、c為常數(shù)）
（1）當(dāng)a=3，b=2，c=4時(shí)，求函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）在[3，+∞）上的值域；
（2）當(dāng)a=3，b=2，c=4時(shí)，判斷函數(shù)G（x）=f（x）•g（x）在[3，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明；
（3）當(dāng)b=4，c=2時(shí)，方程f（x）=g（x）有三個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)條件，寫(xiě)出函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），利用配方法可知F（x）在[3，+∞）上單調(diào)遞增，從而可求函數(shù)的值域；
（2）寫(xiě)出G（x）=x³+x²-10x+8，再用定義法證明即可；
（3）利用圖象法求解，由f（x）=g（x）得x|x-a|+4=x+2即x|x-a|=x-2，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，在同一坐標(biāo)系中，作出它們的圖象，從而得解．
解答：解（1）F（x）=f（x）-g（x）=x²-4x-2=（x-2）²-6--------------------------（3分）
F（x）在[3，+∞）上單調(diào)遞增，------------------------（4分）
當(dāng)x∈[3，+∞）時(shí)，F(xiàn)（x）的值域?yàn)閇-5，+∞）-------------------------------------------------（6分）
（2）G（x）=f（x）•g（x）=（x²-3x+2）（x+4）=x³+x²-10x+8---------------------------------------（8分）
對(duì)任意x₁，x₂∈[3，+∞），且x₁＜x₂
由G（x₁）-G（x₂）=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²+x₁+x₂-10）＜0
知G（x）=f（x）•g（x）在[3，+∞）上的單調(diào)遞增．-----------------------------------------（12分）
（3）由f（x）=g（x）得x|x-a|+4=x+2即x|x-a|=x-2
令，p（x）=x-2--------------------（14分）
由圖象容易得到
當(dāng)a=0時(shí)，兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；
當(dāng)a＜0時(shí)，由x²-（a+1）x+2=0，令
所以，當(dāng)時(shí)，符合題意----------------------------------（16分）
當(dāng)a＞0時(shí)，令p（x）=x-2=0⇒x=2，所以要使得兩圖象有三個(gè)交點(diǎn)，必須a＞2，
所以當(dāng)或a＞2時(shí)，方程f（x）=g（x）有三個(gè)不同的解；----------------------（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，主要考查函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的值域，考查方程解的研究，關(guān)鍵是合理構(gòu)造函數(shù)，合理轉(zhuǎn)化．