Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1（k∈R），
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）證明：

ln2

3

+

ln3

4

+…+

lnn

n+1

＜

n(n-1)

4

（n∈N，n＞1）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ） 先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，使最大值小于等于0，可求出k的取值范圍；
（Ⅲ）由（1）可知，若k=1，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)有f（x）≤0，由此得到lnx＜x-2（x＞1），依次取x的值為2，3，…，n，累加后利用放縮法可證不等式成立．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1，（x＞1）
∴f′（x）=

1

x-1

-k，
當(dāng)k≤0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，故函數(shù)在（1，+∞）為增函數(shù)，
當(dāng)k＞0時(shí)，令f′（x）=0，得x=

k+1

k

當(dāng)f′（x）＞0，即1＜x＜

k+1

k

時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，
當(dāng)f′（x）＜0，即x＞

k+1

k

時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，
綜上所述，當(dāng)k≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（1，+∞）為增函數(shù)，
當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（1，

k+1

k

）為增函數(shù)，在（

k+1

k

，+∞）為減函數(shù)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)k≤0時(shí)，f′（x）＞0函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，f（x）≤0不恒成立，
當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（1，

k+1

k

）為增函數(shù)，在（

k+1

k

，+∞）為減函數(shù)．
當(dāng)x=

k+1

k

時(shí)，f（x）取最大值，f（

k+1

k

）=ln

1

k

≤0
∴k≥1，
即實(shí)數(shù)k的取值范圍為[1，+∞）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知k=1時(shí)，f（x）≤0恒成立，即ln（x-1）＜x-2
∴

ln(x-1)

x

＜1-

2

x

，
取x=3，4，5…n，n+1累加得，
∵

ln

n+1

=

2lnn

2(n+1)

=

lnn2

2(n+1)

＜

n2-1

2(n+1)

=

n-1

2

∴

ln2

3

+

ln3

4

+…+

lnn

n+1

＜

1

2

+

2

2

+

3

2

+…+

n-1

2

=

n(n-1)

4

，（n∈N，n＞1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，函數(shù)的恒成立問題，不等式的證明，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，不等式的放縮，是解題的難點(diǎn)．