Question

已知函數(shù)f（x）=

x+a

x2+bx+1

是奇函數(shù)：
（1）求實(shí)數(shù)a和b的值；
（2）判斷函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性；
（3）已知k＜0且不等式f（t²-2t+3）+f（k-1）＜0對任意的t∈R恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數(shù)的定義，列出等式，即可求實(shí)數(shù)a和b的值；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，確定導(dǎo)數(shù)小于0，即可確定函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性；
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，不等式可轉(zhuǎn)化為t²-2t+3＞1-k任意的t∈R恒成立，由此可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=

x+a

x2+bx+1

是奇函數(shù)
∴由定義

-x+a

x2-bx+1

=-

x+a

x2+bx+1

，
∴a=b=0；
（2）由（1）知f(x)=

x

x2+1

，∴f′(x)=

-x2+1

(x2+1)2

∵x＞1，∴f′（x）＜0，∴y=f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)遞減；
（3）由f（t²-2t+3）+f（k-1）＜0及f（x）為奇函數(shù)得：f（t²-2t+3）＜f（1-k）
因?yàn)閠²-2t+3≥2，1-k＞1，且y=f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)遞減，
所以t²-2t+3＞1-k任意的t∈R恒成立，
因?yàn)閠²-2t+3的最小值為2，所以2＞1-k，∴k＞-1
∵k＜0，∴-1＜k＜0．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，考查恒成立問題，確定函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為具體不等式是關(guān)鍵，