Question

8．設直線l經過橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$的右焦點且傾斜角為45°，若直線l與橢圓相交于A，B兩點，則|AB|=（　　）

• A． $\frac{2}{5}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{6}{5}$
• D． $\frac{8}{5}$

Answer 1

分析 直線l的方程為$y=x-\sqrt{3}$，聯立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=x-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，得5x²-8$\sqrt{3}x$+8=0，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式能求出|AB|．

解答 解：∵直線l經過橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$的右焦點且傾斜角為45°，
∴直線l過點F（$\sqrt{3}$，0），斜率k=tan45°=1，
∴直線l的方程為$y=x-\sqrt{3}$，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=x-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，得5x²-8$\sqrt{3}x$+8=0，
$△=（-8\sqrt{3}）^{2}$-160=32＞0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8\sqrt{3}}{5}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{8}{5}$，
∴|AB|=$\sqrt{（1+1{\;}^{2}）[（\frac{8\sqrt{3}}{5}）^{2}-4×\frac{8}{5}]}$=$\frac{8}{5}$．
故選：D．

點評 本題考查弦長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、弦長公式的合理運用．