Question

已知橢圓+=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F₁（-c，0）、F₂（c，0），Q是橢圓外的動點，滿足||=2a．點P是線段F₁Q與該橢圓的交點，點T在線段F₂Q上，并且滿足•=0，||≠0．
（Ⅰ）設x為點P的橫坐標，證明||=a+x；
（Ⅱ）求點T的軌跡C的方程；
（Ⅲ）試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M，使△F₁MF₂的面積S=b²．若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）證法一：設點P的坐標為（x，y），
由題設條件知||===，
由此能夠推導出||=a+x．

證法二：設點P的坐標為（x，y）．記||=r₁，||=r₂，
由r₁+r₂=2a，r₁²+r₂²=4cx，能夠推導出||=r₁=a+x．
證法三：設點P的坐標為（x，y）．橢圓的左準線方程為a+x=0，
由橢圓第二定義得=，由此入手推導出||=a+x．

（Ⅱ）解法一：設點T的坐標為（x，y）．當||=0時，點（a，0）和點（-a，0）在軌跡上．
當|時，由題設條件知T為線段F₂Q的中點．
在△QF₁F₂中，，由此求出點T的軌跡C的方程．
解法二：在推導出T為線段F₂Q的中點的基礎上，設點Q的坐標為（x'，y'），
由中點坐標公式和||=2a推導出點T的軌跡C的方程．
（Ⅲ）解法一：C上存在點M（x，y）使S=b²的充要條件是
由③得|y|≤a，由④得|y|≤．再分類討論進行求解．
解法二：C上存在點M（x，y）使S=b²的充要條件是
由④得|y|≤．上式代入③得x²=a²-=（a-）（a+）≥0．再分類討論進行求解．
解答：（Ⅰ）證法一：設點P的坐標為（x，y）．
由P（x，y）在橢圓上，得||===
由x≥a，知a+x≥-c+a＞0，所以||=a+x
證法二：設點P的坐標為（x，y）．記||=r₁，||=r₂，
則r₁=，r₂=．
由r₁+r₂=2a，r₁²+r₂²=4cx，得||=r₁=a+x．
證法三：設點P的坐標為（x，y）．橢圓的左準線方程為a+x=0
由橢圓第二定義得=，即||=|x+|=|a+x|．
由x≥-a，知a+x≥-c+a＞0，所以||=a+x．
（Ⅱ）解法一：設點T的坐標為（x，y）．
當||=0時，點（a，0）和點（-a，0）在軌跡上．
當|時，由，得．
又，所以T為線段F₂Q的中點．
在△QF₁F₂中，，所以有x²+y²=a²．
綜上所述，點T的軌跡C的方程是x²+y²=a²．
解法二：設點T的坐標為（x，y）．當||=0時，點（a，0）和點（-a，0）在軌跡上．
當||≠0且||≠0，時，由•=0，得⊥．
又，||，所以T為線段F₂Q的中點．
設點Q的坐標為（x'，y'），則
因此①
由||=2a得（x'+c）²+y'²=4a²．②
將①代入②，可得x²+y²=a²．
綜上所述，點T的軌跡C的方程是x²+y²=a²．
（Ⅲ）解法一：C上存在點M（x，y）使S=b²的充要條件是
由③得|y|≤a，由④得|y|≤．所以，當a≥時，存在點M，使S=b²；
當a＜時，不存在滿足條件的點M．
當a≥時，=（-c-x，-y），=（c-x，-y），
由•=x²-c²+y²=a²-c²=b²，•=||•||=cos∠F₁MF₂，
S=•sin∠F₁MF₂=b²，得tan∠F₁MF₂=2．
解法二：C上存在點M（x，y）使S=b²的充要條件是

由④得|y|≤．上式代入③得x²=a²-=（a-）（a+）≥0
于是，當a≥時，存在點M，使S=b²；
當a＜時，不存在滿足條件的點M．
當a≥時，記k₁=k_F1M=，k₂=k_F2M=，
由|F₁F₂|＜2a，知∠F₁MF₂＜90°，所以tan∠F₁MF₂=||=2．
點評：平時練習時多嘗試一題多解，能夠開拓我們的解題思路，從而提高解題能力．