Question

6．過直線y=x+1上的一點 P 作圓（x-1）²+（y-6）²=2 的兩條切線l₁，l₂，切點分別為A，B，當(dāng)直線l₁，l₂ 關(guān)于直線y=x+1對稱時，∠APB=60°．

Answer 1

分析 由題意，l₁，l₂交于P，直線l₁，l₂ 關(guān)于直線y=x+1對稱時，可知圓心C與P的接線垂直y=x+1．求出直線PC，和P 的坐標(biāo)，求出|PC|，即可得∠APB的大�。�

解答 解：由題意，l₁，l₂交于P，直線l₁，l₂ 關(guān)于直線y=x+1對稱時，
可知圓心C與P的連線即直線PC垂直y=x+1．
圓（x-1）²+（y-6）²=2，其圓心C為（1，6），r=$\sqrt{2}$．
直線PC斜率為：-1，
∴直線PC方程為：x+y-7=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-7=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=4}\end{array}\right.$，即P（3，4）．
那么|PC|=$2\sqrt{2}$．
△APC是直角三角形，sin∠APC=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，∠APC＜90°．
∴∠APC=30°
∴∠APB═2∠APC=60°．
故答案為：60°．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的判斷，根據(jù)直線和圓相切的等價條件是解決本題的關(guān)鍵．