已知a＞0，b＞0，若不等式
m
3a+b
-
3
a
-
1
b
≤0恒成立，則m的最大值為
 
．
考點：函數(shù)恒成立問題
專題：不等式的解法及應用
分析：依題意，得m≤（
3
a
+
1
b
）（3a+b）=9+
3b
a
+
3a
b
+1恒成立，構造函數(shù)g（a，b）=9+
3b
a
+
3a
b
+1，利用基本不等式可求得g（a，b）min=16，從而可求m的最大值．
解答： 解：∵不等式
m
3a+b
-
3
a
-
1
b
≤0恒成立，
∴
m
3a+b
≤
3
a
+
1
b
，又a＞0，b＞0，
∴m≤（
3
a
+
1
b
）（3a+b）=9+
3b
a
+
3a
b
+1恒成立，
令g（a，b）=9+
3b
a
+
3a
b
+1，
則m≤g（a，b）min，
∵g（a，b）=9+
3b
a
+
3a
b
+1≥10+2
3b
a
•
3a
b
=16（當且僅當a=b時取“=”），
∴g（a，b）min=16，
∴m≤16，
∴m的最大值為16，
故答案為：16．
點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，考查構造函數(shù)的思想與等價轉換的思想的綜合應用，突出考查基本不等式的應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
lnx
x
-1
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e2]上的最值；
（Ⅱ）證明：對任意n∈N+，不等式ln（
n+1
n
）e＜
n+1
n
都成立（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

10名學生站成一排，要給每名學生發(fā)一頂紅色、黃色、藍色的帽子，要求每種顏色的帽子都要有，且相鄰的兩名學生帽子的顏色不同，則滿足要求的發(fā)帽子的方法種數(shù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)y=f（x）在x=-1時取得最小值-3，且滿足f（2）=
15
4
．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）當函數(shù)y=f（x）在[-2m+3，-m+2]（m＞1）上的最小值是-
9
4
時，求m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

現(xiàn)有編號為1、2、3號的3個信箱和編號為A、B、C、D的4封信．
（1）若從4封信中任選3封分別投入3個信箱，其中A恰好投入1號信箱的概率是多少？
（2）若4封信可以任意投入信箱，投完為止，其中A恰好投入1號或2號信箱的概率是多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線AB∥平面α，平面α的法向量
n
=（1，0，1），平面α內一點C的坐標為（0，0，1），直線AB上點A的坐標為（1，2，1），則直線AB到平面α的距離為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=Asin（2ωx+
π
3
）+m（m＞0，ω＞0）的圖象y軸右側的第一個最大值、最小值點分別是P（x0，2+m）和Q（x0+
π
2
，-2+m）．
（1）若f（x）在[-
π
4
，
π
6
]上最大值與最小值的和為5，求m的值；
（2）在（1）的條件下，用“五點法”作出f（x）在[-
π
3
，
5π
6
]上的圖象．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
、
b
、
c
分別為直線a、b、c的方向向量，且
a
=λ
b
（λ≠0），
b
•
c
=0，則a與c的位置關系是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

sin
π
12
=
 
．

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