Question

已知函數(shù)f（x）=

lnx

x

-1
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e²]上的最值；
（Ⅱ）證明：對任意n∈N⁺，不等式ln（

n+1

n

）^e＜

n+1

n

都成立（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)f′（x）=

1-lnx

x2

；由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求最值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令F（x）=

lnx

x

，則F（x）=

lnx

x

在[1，e）上單調(diào)遞增，在（e，e²]上單調(diào)遞減且F（x）＜

1

e

，（x＞1）；從而可得elnx＜x，從而證明．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

lnx

x

-1，∴f′（x）=

1-lnx

x2

；
當(dāng)x∈[1，e）時，f′（x）＞0，
當(dāng)x∈（e，e²]時，f′（x）＜0；
故f（x）在[1，e）上單調(diào)遞增，在（e，e²]上單調(diào)遞減；
且f（1）=0-1=-1；f（e）=

1

e

-1＜0，f（e²）=

2

e2

-1＜

1

e

-1；
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e²]上的最小值為-1；
最大值為

1

e

-1；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，令F（x）=

lnx

x

；
則F（x）=

lnx

x

在[1，e）上單調(diào)遞增，在（e，e²]上單調(diào)遞減；
且F（x）＜

1

e

，（x＞1）；
故

lnx

x

＜

1

e

，（x＞1）；
故elnx＜x；
令x=

n+1

n

得，
eln

n+1

n

＜

n+1

n

；
故對任意n∈N⁺，不等式ln（

n+1

n

）^e＜

n+1

n

都成立（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．