Question

10．已知實(shí)數(shù) x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x+y≥a\\ x-y≤a\\ y≤a\end{array}\right.（{a＞0}）$，若z=x²+y²的最小值為 2，則 a的值為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $2\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)z=x²+y²，則z的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到原點(diǎn)距離的平方．
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由圖象可知原點(diǎn)到直線x+y=a的距離最小和直線x-y=a的距離最小
由點(diǎn)到直線的距離公式得d=$\frac{a}{\sqrt{2}}$，
所以z=x²+y²的最小值為z=d²=$\frac{{a}^{2}}{2}$=2，
解得a=2，
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用點(diǎn)到直線的距離公式以及點(diǎn)與平面區(qū)域之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃的基本方法．