Question

5．已知函數(shù)f（x）=ax-lnx+x²．
（Ⅰ）若a=-1，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若a=1，?x₁∈（1，2），?x₂∈（1，2），使得f（x₁）-x₁²=mx₂-$\frac{1}{3}m{x_2}$³（m≠0），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）得到$ln{x_1}-{x_1}=\frac{1}{3}mx_2^3-m{x_2}$；設(shè)h（x）=lnx-x在（1，2）上的值域?yàn)锳，函數(shù)$g（x）=\frac{1}{3}mx{\;}^3-mx$在（1，2）上的值域?yàn)锽，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）依題意，f（x）=-x-lnx+x²，$f'（x）=-1-\frac{1}{x}+2x=\frac{{2{x^2}-x-1}}{x}=\frac{{（{2x+1}）（{x-1}）}}{x}$，
因?yàn)閤∈（0，+∞），故當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，
故當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有極小值，極小值為f（1）=0，無極大值．
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-lnx+x²．
因?yàn)?x₁∈（1，2），?x₂∈（1，2），使得$f（{x_1}）-x_1^2=m{x_2}-\frac{1}{3}mx_2^3（{m≠0}）$，
故$ln{x_1}-{x_1}=\frac{1}{3}mx_2^3-m{x_2}$；設(shè)h（x）=lnx-x在（1，2）上的值域?yàn)锳，
函數(shù)$g（x）=\frac{1}{3}mx{\;}^3-mx$在（1，2）上的值域?yàn)锽，
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，$h'（x）=\frac{1}{x}-1＜0$，即函數(shù)h（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，
故h（x）∈（ln2-2，-1），又g'（x）=mx²-m=m（x+1）（x-1）．
（i）當(dāng)m＜0時(shí)，g（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，此時(shí)g（x）的值域?yàn)?B=（{\frac{2m}{3}，-\frac{2m}{3}}）$，
因?yàn)锳⊆B，又$-\frac{2m}{3}＞0＞-1$，故$\frac{2m}{3}≤ln2-2$，即$m≤\frac{3}{2}ln2-3$；
（ii）當(dāng)m＞0時(shí)，g（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，
此時(shí)g（x）的值域?yàn)?B=（{-\frac{2m}{3}，\frac{2m}{3}}）$，因?yàn)锳⊆B，又$\frac{2}{3}m＞0＞-1$，
故$-\frac{2m}{3}≤ln2-2$，故$m≥-\frac{3}{2}（{ln2-2}）=3-\frac{3}{2}ln2$；
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為$（-∞，\frac{3}{2}ln2-3]∪[3-\frac{3}{2}ln2，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．