Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），對(duì)任意的x∈R，都有f（x-4）=f（2-x）成立，
（1）求2a-b的值；
（2）函數(shù)f（x）取得最小值0，且對(duì)任意x∈R，不等式x≤f（x）≤（

x+1

2

）²恒成立，求函數(shù)f（x）的解析式；
（3）若方程f（x）=x沒有實(shí)數(shù)根，判斷方程f（f（x））=x根的情況，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（x-4）=f（2-x）成立，可得函數(shù)y=f（x）圖象的對(duì)稱軸方程為 x=-

b

2a

=-1，由此求得 2a-b的值．       
（2）當(dāng)x=-1 時(shí)，f（x）=a-b+c=0，對(duì)于不等式x≤f（x）≤（

x+1

2

）² ，當(dāng)x=1時(shí)，由1≤f（1）≤1，可得f（1）=a+b+c=1．求得a、b、c的值，可得函數(shù)的解析式．
（3）由題意可得，當(dāng)a＞0時(shí)，不等式f（x）＞x恒成立，f（f（x））＞f（x）＞x，方程f（f（x））=x無實(shí)數(shù)解．當(dāng)a＜0時(shí)，由不等式f（x）＜x恒成立，可得f（f（x））＜f（x）＜x，方程f（f（x））=x無實(shí)數(shù)解，綜合可得結(jié)論．

解答： 解：（1）由f（x-4）=f（2-x）成立，可得函數(shù)y=f（x）圖象的對(duì)稱軸方程為x=-1，
∴-

b

2a

=-1，∴2a-b=0．       
（2）當(dāng)x=-1 時(shí)，f（x）=a-b+c=0，
對(duì)于不等式x≤f（x）≤（

x+1

2

）² ，當(dāng)x=1時(shí)，有1≤f（1）≤1，∴f（1）=a+b+c=1．
由以上方程解得 a=

1

4

=c，b=

1

2

，∴函數(shù)的解析式為f(x)=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

．
（3）因?yàn)榉匠蘤（x）=x無實(shí)根，所以當(dāng)a＞0時(shí)，不等式f（x）＞x恒成立，
∴f（f（x））＞f（x）＞x，故方程f（f（x））=x無實(shí)數(shù)解．
當(dāng)a＜0時(shí)，不等式f（x）＜x恒成立，∴f（f（x））＜f（x）＜x，
故方程f（f（x））=x無實(shí)數(shù)解，
綜上得：方程f（f（x））=x無實(shí)數(shù)解．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．