已知函數(shù)f（x）=x+
2
x
+alnx
（1）若f（x）在x=1處取得極值．求a的值；
（2）若f（x）在[1，2]上為減函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）若g（x）=f（x）-x，當(dāng)a＞0時(shí)，是否存在a使得g（x）在（0，e]上有最小值0，若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用f（x）在x=1處取得極值．建立方程，可求a、b的值
（2）若f（x）在[1，2]上為減函數(shù)，則f′（x）=1-
2
x2
+
a
x
≤0恒成立，利用分離參數(shù)法得出a≤
2
x
-x，只需a≤（
2
x
-x）min，轉(zhuǎn)化為求≤（
2
x
-x）min
（3）g（x）=f（x）-x=
2
x
+alnx，g′（x）=-
2
x2
+
a
x
=
ax-2
x2
．由ax-2=0，得x=
2
a
．分0＜
2
a
＜e，
2
a
≥e分別求出最小值，解關(guān)于a的方程得出a
解答： 解：（1）求導(dǎo)函數(shù)，f′（x）=1-
2
x2
+
a
x
，f（x）在x=1處取得極值，f′（1）=0，a=1．
（2）若f（x）在[1，2]上為減函數(shù)，則f′（x）=1-
2
x2
+
a
x
≤0恒成立，即x2+ax-2≤0，
a≤
2
x
-x，只需a≤（
2
x
-x）min，（
2
x
-x）′=-
2
x2
-1＜0，
2
x
-x單調(diào)遞減，當(dāng)x=2時(shí)，（
2
x
-x）min，=-1，
所以a的取值范圍a≤-1；
（3）g（x）=f（x）-x=
2
x
+alnx，g′（x）=-
2
x2
+
a
x
=
ax-2
x2
．
由ax-2=0，得x=
2
a
（＞0），
當(dāng)0＜
2
a
＜e①時(shí)，若x∈（0，
2
a
）則g′（x）＜0，若x∈（
2
a
，e）則g′（x）＞0，
所以此時(shí)g（x）最小值=g（
2
a
）=a+aln
2
a
=0，
2
a
=
1
e
，a=2e，符合①．
 當(dāng)
2
a
≥e②時(shí)，g′（x）＜0，此時(shí)g（x）最小值=g（e）=
2
e
+a=0，a=-
2
e
（舍去）
綜上所述，a=2e．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的極值求解，不等式恒成立，分類討論的能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+ax-lnx
（1）若a=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，2]內(nèi)是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知全集U={x|log2x≤2}，集合A={x|0＜x＜3}，B={x|-3＜x≤3}，求A∩B、∁UA、（∁UA）∩B．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，有一塊拋物線形狀的鋼板，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形ABCD的形狀，使得A，B，C，D都落在拋物線上，點(diǎn)A，B關(guān)于拋物線的軸對(duì)稱，且AB=2，拋物線的頂點(diǎn)到底邊的距離是2，記CD=2t，梯形面積為S．
（1）以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，其對(duì)稱軸為y軸建立坐標(biāo)系，使拋物線開口向下，求出該拋物線的方程；
（2）求面積S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出其定義域；
（3）求面積S的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知全集U=R，∁UM={x|x＜-1，或x≥2}，N={x|1≤x≤3或x＞5}．
（1）求M∩（∁UN）；
（2）若集合P={x|a＜x＜a+4}，M∩P=M，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），對(duì)任意的x∈R，都有f（x-4）=f（2-x）成立，
（1）求2a-b的值；
（2）函數(shù)f（x）取得最小值0，且對(duì)任意x∈R，不等式x≤f（x）≤（
x+1
2
）2恒成立，求函數(shù)f（x）的解析式；
（3）若方程f（x）=x沒(méi)有實(shí)數(shù)根，判斷方程f（f（x））=x根的情況，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如果對(duì)任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=2，
（1）求f（0），f（2），f（3）的值和
f(2)
f(1)
+
f(3)
f(2)
+
f(4)
f(3)
+…+
f(2013)
f(2012)
的值；
（2）若當(dāng)x＞0時(shí)，有f（x）＞1成立，試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性并加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x-alnx（a∈R）
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex-ax2（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)P（0，1）處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，試求a的范圍；
（3）若函數(shù)f（x）不出現(xiàn)在直線y=x+1的下方，試求a的最大值．

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