Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，焦距為4，且經(jīng)過點（2，-3）．若點P在橢圓上，且在x軸上方，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$=0．
（1）求橢圓C的方程；
（2）①求△PF₁F₂的內切圓M的方程；
②若直線l過△PF₁F₂的內切圓圓心M，交橢圓于A，B兩點，且A，B關于點M對稱，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，2c=4，c=2，則a²=b²+4，將點（2，-3）代入橢圓方程：$\frac{4}{^{2}+4}+\frac{9}{^{2}}=1$．即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）①由（1）可知：c=2，F(xiàn)₁（-2，0），由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$=0，由PF₁⊥F₁F₂，代入橢圓方程得$\frac{4}{16}+\frac{{y}_{P}^{2}}{12}=1$，求得P點坐標，則在Rt△PF₁F₂中，丨PF₁丨=3，丨F₁F₂丨=4，丨PF₂丨=5，則r=$\frac{3+4-5}{2}$=1，即M（-1，1），則圓方程為：（x+1）²+（y-1）²=1；
②設直線l：y=k（x+1）+1，代入橢圓方程，由A，B關于點M（-1，1）對稱，$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{1}{2}$•$\frac{8k（k+1）}{4{k}^{2}+3}$=-1，解得：k=$\frac{3}{4}$，即可求得橢圓方程．

解答 解：（1）橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，2c=4，c=2，
則a²=b²+4，
將點（2，-3）代入橢圓方程：$\frac{4}{^{2}+4}+\frac{9}{^{2}}=1$．解得：a²=16，b²=12，
則橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．                                     …（5分）
（2）①由（1）可知：c=2，F(xiàn)₁（-2，0），由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$=0，
∴PF₁⊥F₁F₂，
設點P（-2，y_P）（y_P＞0），代入橢圓方程得$\frac{4}{16}+\frac{{y}_{P}^{2}}{12}=1$，從而y_P=3，
即P（-2，3），…（7分）
則在Rt△PF₁F₂中，丨PF₁丨=3，丨F₁F₂丨=4，丨PF₂丨=5，
設內切圓半徑為r，圓心坐標為M（x_M，y_M），則r=$\frac{3+4-5}{2}$=1，x_M=-2+1=-1，y_M=1，即M（-1，1），
故所求圓方程為：（x+1）²+（y-1）²=1，…（10分）
②設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意知直線AB斜率k，存在且不等于0，故設直線l：y=k（x+1）+1，
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）+1}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，整理得：（4k²+3）x²+8k（k+1）x+4（k+1）²-48=0，
由A，B關于點M（-1，1）對稱，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{1}{2}$•$\frac{8k（k+1）}{4{k}^{2}+3}$=-1，解得：k=$\frac{3}{4}$，…（15分）
所以，直線l的方程為：y-1=$\frac{3}{4}$（x+1），即3x-4y+7-0．                  …（16分）

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，三角形內切圓的方程，考查計算能力，屬于中檔題．