Question

20．已知一個橢圓的焦點在x軸上、離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，右焦點到右準線（$x=\frac{a^2}{c}$）的距離為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）一條直線經(jīng)過橢圓的一個焦點且斜率為1，求直線與橢圓的兩個交點之間的距離．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：設橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），有橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，右焦點到右準線（$x=\frac{a^2}{c}$）的距離為$\frac{{a}^{2}}{c}$-c=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，聯(lián)立即可求得a和b的值，由b²=a²-c²=1，即可求得橢圓的標準方程；
（2）設直線方程為y=x-$\sqrt{3}$，代入橢圓方程，有韋達定理及弦長公式丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，即可求得直線與橢圓的兩個交點之間的距離．

解答 解：（1）由題意得：橢圓的焦點在x軸上，設橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
有橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
右焦點到右準線（$x=\frac{a^2}{c}$）的距離為$\frac{{a}^{2}}{c}$-c=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
代入即可求得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
b²=a²-c²=1，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）由（1）可知：橢圓的右焦點為（$\sqrt{3}$，0）不妨設直線方程為y=x-$\sqrt{3}$，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=x-\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：5x²-8$\sqrt{3}$x+8=0，x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，x₁x₂=$\frac{8}{5}$，
∴直線與橢圓的兩個交點之間的距離丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（\frac{8\sqrt{3}}{5}）^{2}-4×\frac{8}{5}}$=$\frac{8}{5}$．
直線與橢圓的兩個交點之間的距離$\frac{8}{5}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理及弦長公式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．