Question

      (本題滿分12分)設(shè)橢圓C:(a〉b>0)的左焦點(diǎn)為，橢圓過(guò)點(diǎn)P（）

(1) 求橢圓C的方程；

(2) 已知點(diǎn)D(l,0),直線l:與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，以DA和DB為鄰邊的四邊形是菱形，求k的取值范圍.

Answer 1

解 （1）由題意知，b² = a²－3，由 得 2a⁴－11a² + 12 = 0，

所以（a²－4）（2a²－3）= 0，得 a² = 4或（舍去），

因此橢圓C的方程為．                                                    ……… 4分

（2）由 得 ．

所以4k² + 1＞0，，

得 4k² + 1＞m²．                ①                               6分

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)為M（x₀，y₀），則，，

于是 ，，．

設(shè)菱形一條對(duì)角線的方程為，則有 x =－ky + 1．

將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入，得 ，所以．     ②

 ……………… 9分

將②代入①，得，

所以9k²＞4k² + 1，解得 k∈．                      … 12分

法2   

．直線l的方向向量為（1，k），則由菱形對(duì)角線互相垂直得，即，－3km = 4k² + 1，， 代入①即得．

法3   設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)為M（x₀，y₀），

則，，于是，兩式相減可得 ，即 x₀ + 4ky₀ = 0．       ①                因?yàn)?QD⊥AB，所以

．                          ②

由①②可解得 ，，表明點(diǎn)M的軌跡為線段（）．

當(dāng)，k∈（，+∞）；當(dāng)，k∈（－∞,）．

綜上，k的取值范圍是k∈．