Question

（2013•楚雄州模擬）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)為B（0，4），離心率e=

5

5

，直線l交橢圓于M、N兩點(diǎn)．
（1）若直線l的方程為y=x-4，求弦MN的長(zhǎng)；
（2）如果△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)F，求直線l方程的一般式．

Answer 1

分析：（1）由已知中橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)為B（0，4），離心率e=

5

5

，根據(jù)e=

c

a

，b=4，a²=b²+c²可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而求直線l的方程及弦長(zhǎng)公式，得到弦MN的長(zhǎng)；
（2）設(shè)線段MN的中點(diǎn)為Q（x₀，y₀），結(jié)合（1）中結(jié)論，及△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)F，由重心坐標(biāo)公式，可得Q點(diǎn)坐標(biāo)，由中點(diǎn)公式及M，N也在橢圓上，求出MN的斜率，可得直線l方程．

解答：解：（1）由已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)為B（0，4），
∴b=4，
又∵離心率e=

c

a

=

5

5

，
即

c2

a2

=

1

5

，
∴

a2-b2

a2

=

1

5

，解得a²=20，
∴橢圓方程為

x2

20

+

y2

16

=1； …（3分）
由4x²+5y²=80與y=x-4聯(lián)立，
消去y得9x²-40x=0，
∴x₁=0，x2=

40

9

，
∴所求弦長(zhǎng)|MN|=

1+12

|x2-x1|=

40 2

9

；            …（6分）
（2）橢圓右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，0），
設(shè)線段MN的中點(diǎn)為Q（x₀，y₀），
由三角形重心的性質(zhì)知

BF

=2

FQ

，又B（0，4），
∴（2．-4）=2（x₀-2，y₀），
故得x₀=3，y₀=-2，
求得Q的坐標(biāo)為（3，-2）；                               …（9分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=6，y₁+y₂=-4，
且

x 2 1

20

+

y 2 1

16

=1，

x 2 2

20

+

y 2 2

16

=1，…（11分）
以上兩式相減得

(x1+x2)(x1-x2)

20

+

(y1+y2)(y1-y2)

16

=0，
∴kMN=

y1-y2

x1-x2

=-

4

5

•

x1+x2

y1+y2

=-

4

5

•

6

-4

=

6

5

，
故直線MN的方程為y+2=

6

5

(x-3)，即6x-5y-28=0．   …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線的一般方程，直線與圓錐曲線，熟練掌握橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)是重心坐標(biāo)，中點(diǎn)公式等基本公式，是解答的關(guān)鍵．