Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為B₁，B₂，且離心率e=$\frac{2}{3}$，若四邊形F₁B₁F₂B₂的內(nèi)切圓面積為$\frac{20π}{9}$，則橢圓C的方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{9}$$+\frac{{y}^{2}}{5}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{36}$$+\frac{{y}^{2}}{20}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{6}$$+\frac{3{y}^{2}}{10}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{4}$$+\frac{{y}^{2}}{3}$=1

Answer 1

分析 由已知得橢圓離心率e=$\frac{2}{3}$，原點(diǎn)O（0，0）到直線B₂F₂：$\frac{x}{c}+\frac{y}$=1的距離為$\frac{\sqrt{20}}{3}$，由此列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓方程．

解答 解：∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，
短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為B₁，B₂，且離心率e=$\frac{2}{3}$，四邊形F₁B₁F₂B₂的內(nèi)切圓面積為$\frac{20π}{9}$，
∴原點(diǎn)O（0，0）到直線B₂F₂：$\frac{x}{c}+\frac{y}$=1的距離為$\frac{\sqrt{20}}{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}}\\{\frac{bc}{\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}=\frac{\sqrt{20}}{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=3，b=$\sqrt{5}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$$+\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{9}$$+\frac{{y}^{2}}{5}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓、圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．