如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，點(diǎn)E、F分別為棱AB、PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PCE；
（Ⅱ）求異面直線PD和EC所成角．
分析：（1）取PC的中點(diǎn)G，連接FG、EG，證出AF∥EG，由線面平行的判定定理，即可證出：AF∥平面PCE．
（2）取CD的中點(diǎn)N，得到∠ANM即為異面直線所成角，由長度關(guān)系得到cos∠ANM=
5
5
即異面直線PD和EC所成角為arccos
5
5
．
解答：證明：（1）取PC的中點(diǎn)G，連接FG、EG，
∴FG為△CDP的中位線∴FG
∥
.
CD
∵四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點(diǎn)
∴AB
∥
.
CD，∴FG
∥
=AE，
∴四邊形AEGF是平行四邊形，∴AF∥EG
又EG?平面PCE，AF?平面PCE
∴AF∥平面PCE；
（2）取CD的中點(diǎn)N，連接MN，AN，AM，
∴MN∥PD，MN=
1
2
PD，AN∥EC
∴∠ANM即為異面直線所成角，
∵PA=2，PA⊥面ABCD，∠PDA=45°，
∴AB=2，AN=
5
，MN=
2
，AM=
1
2
PC=
3

∴cos∠ANM=
5
5
，即異面直線PD和EC所成角為arccos
5
5
．
點(diǎn)評：本題考查線面位置關(guān)系，面面位置關(guān)系的判定，空間角的求解．考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想，計算能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點(diǎn)．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點(diǎn)F是PB中點(diǎn)．
（Ⅰ）若E為BC中點(diǎn)，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點(diǎn)，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點(diǎn)A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大��；當(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個動點(diǎn)Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點(diǎn)Q的軌跡方程．

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