Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+px+q（p，q∈R）．
（Ⅰ）若p=2，當x∈[-4，-2]時，f（x）≥0恒成立，求q的取值范圍；
（Ⅱ）若不等式|f（x）|＞2在區(qū)間[1，5]上無解，試求所有的實數(shù)對（p，q）．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）p=2帶入函數(shù)f（x）=x²+2x+q，所以根據(jù)已知條件得x²+2x+q≥0在[-4，-2]上恒成立，即q≥-x²-2x恒成立，所以求函數(shù)-x²-2x在[-4，-2]上的最大值，q大于等于該最大值即可；
（Ⅱ）若不等式|f（x）|＞2在區(qū)間[1，5]上無解，則首先需滿足

|f(1)|≤2 |f(5)|≤2

，即

-2≤1+p+q≤2 -2≤25+5p+q≤2

（1），通過該不等式可求出p的范圍，從而確定出函數(shù)f（x）的對稱軸x=-

p

2

在區(qū)間[1，5]上，所以p，q還需滿足f(-

p

2

)≥-2，結(jié)合不等式組（1）可求出p的范圍，從而求出p=-6，并帶入前面不等式可得到q=7，所以得到滿足條件的實數(shù)對（p，q）只一對（-6，7）．

解答： 解：（Ⅰ）p=2時，f（x）=x²+2x+q；
∴x∈[-4，-2]時，x²+2x+q≥0恒成立，即q≥-x²-2x恒成立；
函數(shù)-x²-2x的對稱軸是x=-1，∴該函數(shù)在[-4，-2]上單調(diào)遞增；
∴x=-2時，-x²-2x取最大值0；
∴q≥0；
∴q的取值范圍為[0，+∞）；
（Ⅱ）若不等式|f（x）|＞2在區(qū)間[1，5]上無解，則必須滿足：

-2≤f(1)≤2 -2≤f(5)≤2

，即

-2≤1+p+q≤2 -2≤25+5p+q≤2

       （1）；
∴

-2≤-1-p-q≤2 ① -2≤25+5p+q≤2 ②

；
①+②得：-7≤p≤-5，

5

2

≤-

p

2

≤

7

2

；
∴函數(shù)f（x）的對稱軸在區(qū)間[1，5]上；
∴p，q還需滿足f（-

p

2

）≥-2，即

4q-p2

4

≥-2，即q≥

p2

4

-2；
∴該不等式結(jié)合（1）可得到p，q需滿足的不等式組為：

-2≤1+p+q≤2 -2≤25+5p+q≤2 q≥ p2 4 -2

；
解該不等式組可得p=-6，帶入不等式組得q=7；
∴滿足條件的實數(shù)對（p，q）只有一對（-6，7）．

點評：考查二次函數(shù)的單調(diào)性及根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)最值，要求對二次函數(shù)的圖象比較熟悉，并且可結(jié)合二次函數(shù)f（x）及函數(shù)|f（x）|的圖象找限制p，q的不等式．