Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+cosx-（

6

π

-

9

2

）x的導(dǎo)數(shù)為f′（x），且數(shù)列{a_n}滿足a_n+1+a_n=nf′（

π

6

）+3（n∈N^*）．
（1）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，求a₁的值；（2）當(dāng)a₁=2時(shí)，求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）若對(duì)任意n∈N^*，都有

a 2 n +an+12

an+an+1

≥4成立，求a₁的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等差關(guān)系的確定,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，推出a_n+1+a_n=nf′（

π

6

）+3的具體表達(dá)式，
（1）數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，利用a_n+1+a_n=4n+3，求出a₁的值；
（2）利用a_n+1+a_n=4n+3，當(dāng)a₁=2時(shí)，推出奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)導(dǎo)數(shù)等差數(shù)列，然后求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）通過(guò)對(duì)任意n∈N^*，都有

a 2 n +an+12

an+an+1

≥4成立，利用n為奇數(shù)與n為偶數(shù)，通過(guò)不等關(guān)系式，分別利用函數(shù)的最值問(wèn)題，求a₁的取值范圍．

解答： 解：函數(shù)f（x）=lnx+cosx-（

6

π

-

9

2

）x，
∴f′(x)=

1

x

-sinx-

6

π

+

9

2

，則f′(

π

6

)=4，故a_n+1+a_n=4n+3
（1）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，由a_n+1+a_n=4n+3得（a₁+nd）+[a₁+（n-1）d]=4n+3，
解得：d=2，a1=

5

2

（2）由an+1+an=4n+3(n∈N*)．得a_n+2+a_n+1=4n+7兩式相減，得a_n+2-a_n=4
故數(shù)列{a_2n-1}是首項(xiàng)為a₁，公差為4的等差數(shù)列．?dāng)?shù)列{a_2n}是首項(xiàng)為a₂，公差為4
的等差數(shù)列，
由a₂+a₁=7，a₁=2，得a₂=5，所以an=

2n，n為奇數(shù) 2n+1，n為偶數(shù).

①當(dāng)n為奇數(shù)是，a_n=2n，a_n+1=2n+3.Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a_n-2=7+15+…+(4n-5)+2n=

n-1 2 ×(4n-5+7)

2

+2n=

2n2+3n-1

2

；
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an)=7+15+…+(4n-1)=

2n2+3n

2

；
（3）由（2）知，an=

2n-2+a1，n為奇數(shù) 2n+3-a1，n為偶數(shù)

，
①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n=2n-2+a₁，a_n+1=2n+5-a₁．
由

a 2 n +an+12

an+an+1

≥4得2

a

2 1

-14a1≥-8n2+4n-17．
令f(n)=-8n2+4n-17=-8(n-

1

4

)2-

33

2

，∴f（n）_max=f（1）=-21，∴2

a

2 1

-14a1≥-21．解得a≥

7+ 7

2

或a≤

7- 7

2

．
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n=2n+3-a₁，a_n+1=2n+a₁．
由

a 2 n +an+12

an+an+1

≥4得2

a

2 1

-6a1≥-8n2+4n+3．
令g(n)=-8n2+4n+3=-8(n-

1

4

)2+

7

2

，∴g（n）_max=g（2）=-21，∴2

a

2 1

-6a1≥-21解得a₁∈R
綜上，a₁的取值范圍是(-∞，

7- 7

2

]∪[

7+ 7

2

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，數(shù)列與不等式的求法，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．