Question

9．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinωx-cosωx，1），$\overrightarrow{n}$=（cosωx，$\frac{1}{2}$），設函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$，
若函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=$\frac{π}{3}$對稱且ω∈[0，2]
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間；
（Ⅱ） 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別a，b，c，若a=$\sqrt{3}$，f（A）=1，求b+c的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡f（x），利用周期公式求出ω得出f（x）的解析式，利用正弦函數(shù)的單調性列出不等式解出單調增區(qū)間；
（Ⅱ）通過f（A）=1，求出A的值，利用余弦定理得到關于b+c的表達式，然后求其最大值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（$\sqrt{3}$sinωx-cosωx）cosωx+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$sinωx•cosωx-cos²ωx+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx$-$\frac{1}{2}cos2ωx$=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）
函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=$\frac{π}{3}$對稱，則$\frac{2ωπ}{3}-\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$
則$ω=\frac{3}{2}k+1$，k∈Z且ω∈[0，2]，則ω=1…（4分）
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$$≤\frac{3π}{2}$+2kπ，解得kπ+$\frac{π}{3}$$≤x≤kπ+\frac{5π}{6}$，k∈Z
∴函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．
（Ⅱ）f（A）=sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，且A是△ABC內角，
∴0＜A＜π，則-$\frac{π}{6}$＜2A-$\frac{π}{6}$$＜\frac{11π}{6}$，所以2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，則A=$\frac{π}{3}$，
∵a=$\sqrt{3}$，由余弦定理${a}^{2}=^{2}+{c}^{2}-2bc•cos\frac{π}{3}$=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc
則（b+c）²-3bc=3，而bc≤（$\frac{b+c}{2}$）²，所以3=（b+c）²-3bc≥（b+c）²-3×（$\frac{b+c}{2}$）²=$\frac{（b+c）^{2}}{4}$
⇒b+c$≤2\sqrt{3}$，當且僅當b=c=$\sqrt{3}$時，
所以b+c的最大值為2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡求值，解三角形的知識，二倍角公式、兩角和的正弦函數(shù)、余弦定理的應用，考查計算能力，注意A的大小求解，是易錯點．