Question

10．已知不等式ax²-3x+6＞4的解集為 {x|x＜1或x＞b}（b＞1）．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）解不等式ax²-（ac+b）x+bc＜0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)不等式ax²-3x+6＞4的解集為{x|x＜1或x＞b}，可得x=1與x=b是方程ax²-3x+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用韋達(dá)定理即可求出實(shí)數(shù)a，b的值
（2）將（1）中的a，b的值帶入，對(duì)c討論求解不等式即可．

解答 解：（1）∵不等式ax²-3x+6＞4的解集為{x|x＜1或x＞b}，
∴x₁=1與x₂=b是方程ax²-3x+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且b＞1．
由根與系數(shù)的關(guān)系，可得：$\frac{2}{a}=b，\frac{3}{a}=1+b$．
解得：a=1，b=2．
（2）由（1）可知a=1，b=2，
∴原不等式ax²-（ac+b）x+bc＜0，可化為x²-（2+c）x+2c＜0，
即（x-2）（x-c）＜0．
①當(dāng)c＞2時(shí)，不等式（x-2）（x-c）＜0的解集為{x|2＜x＜c}；
②當(dāng)c＜2時(shí)，不等式（x-2）（x-c）＜0的解集為{x|c＜x＜2}；
③當(dāng)c=2時(shí)，不等式（x-2）（x-c）＜0的解集為∅．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了一元二次不等式的應(yīng)用和討論思想，以及根與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí)考查了分析求解的能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．