【題目】已知正三棱錐的高為6，側面與底面成的二面角，則其內(nèi)切球（與四個面都相切）的表面積為（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

過點P作PD⊥平面ABC于D，連結并延長AD交BC于E，連結PE，△ABC是正三角形，AE是BC邊上的高和中線，D為△ABC的中心．由此能求出棱錐的全面積，再求出棱錐的體積，設球的半徑為r，以球心O為頂點，棱錐的四個面為底面把正三棱錐分割為四個小棱錐，利用等體積能求出球的表面積．

如圖，過點P作PD⊥平面ABC于D，

連結并延長AD交BC于E，連結PE，△ABC是正三角形，

∴AE是BC邊上的高和中線，D為△ABC的中心．

∴為側面與底面所成的二面角的平面角，

∴=

∵PD=6，∴DE=2,PE=4 , AB=12,

∴S△ABC=×（12）2=36，S△PAB=S△PBC=S△PCA==24．

∴S表=108.

設球的半徑為r，以球心O為頂點，棱錐的四個面為底面把正三棱錐分割為四個小棱錐，

∵PD=6，∴VP﹣ABC=366=72．

則由等體積可得r==2，

∴S球=4π22=16π．

故選B.

練習冊系列答案
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若對，都有，求的取值范圍.

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（1）設是上的一點，證明：平面平面；

（2）求四棱錐的體積．

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【題目】下列說法正確的是______（填序號）.

①有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱；

②有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱；

③有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；

④用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間那部分的幾何體是棱臺；

⑤存在一個四棱錐，其四個側面都是直角三角形.

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