Question

已知橢圓過點(diǎn)，且離心率e=．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN的垂直平分線過定點(diǎn)，求k的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意橢圓的離心率∴∴a=2c∴b²=a²-c²=3c²
∴橢圓方程為又點(diǎn)在橢圓上∴∴c²=1
∴橢圓的方程為…（4分）
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）由
消去y并整理得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0…（6分）
∵直線y=kx+m與橢圓有 兩個(gè)交點(diǎn)△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，即m²＜4k²+3…（8分）
又∴MN中點(diǎn)P的坐標(biāo)為…（9分）
設(shè)MN的垂直平分線l'方程：
∵p在l'上∴即4k²+8km+3=0
∴…（11分）
將上式代入得
∴
即或，∴k的取值范圍為
分析：（Ⅰ）由題意知橢圓的離心率，故橢圓方程為，又點(diǎn)在橢圓上，由此能導(dǎo)出橢圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由，消去y并整理得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由直線y=kx+m與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，知m²＜4k²+3．又，知MN中點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由此能求出k的范圍．
點(diǎn)評：本題考查橢圓方程和k的取值范圍，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意橢圓的靈活運(yùn)用，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．