Question

20．已知函數(shù)f（x）=x²-（2a+1）x+alnx（a＞0），求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調性和導數(shù)之間的關系，對a討論，分①當0＜a＜1時，②當a=1時，③當a＞1時，即可求f（x）的單調區(qū)間．

解答 解：∵f（x）=x²-2（a+1）x+2alnx（a＞0）．
∴f′（x）=2x-2（a+1）+$\frac{2a}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-2（a+1）x+2a}{x}$，
由f'（x）=0得x₁=a，x₂=1，
①當0＜a＜1時，在x∈（0，a）或x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0；
在x∈（a，1）時，f'（x）＜0．
∴f（x）的單調增區(qū)間是（0，a）和（1，+∞），單調減區(qū)間是（a，1）；
②當a=1時，在x∈（0，+∞）時f'（x）≥0，
∴f（x）的單調增區(qū)間是（0，+∞）；
③當a＞1時，在x∈（0，1）或x∈（a，+∞）時，f'（x）＞0；
在x∈（1，a）時，f'（x）＜0．
∴f（x）的單調增區(qū)間是（0，1）和（a，+∞），單調減區(qū)間是（1，a）．

點評 本題主要考查函數(shù)單調性和導數(shù)之間的關系，考查分類討論的思想方法，正確分類是解決本題的關鍵．