Question

已知函數(shù)f(x)=x+

2a2

x

-alnx  (a∈R)．
（1）討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=x²-2bx+4-ln2，當(dāng)a=1時(shí)，若對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，e]（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），f（x₁）≥g（x₂），求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)f′（x），利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系解出不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可．
（2）由題意得，對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，e]（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），f（x₁）≥g（x₂）成立，可轉(zhuǎn)化為當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，[f（x）]_min≥[g（x）]_max．

解答：解：（1）因?yàn)閒（x）=x+

2a2

x

-alnx(x＞0)，所以f′(x)=1-

2a2

x2

-

a

x

=

x2-ax-2a2

x2

=

(x+a)(x-2a)

x2

，
①若a=0，f（x）=x，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
②若a＞0，當(dāng)x∈（0，2a）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，2a）上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（2a，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（2a，+∞）上單調(diào)遞增．
③若a＜0，當(dāng)x∈（0，-a）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，-a）上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（-a，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（-a，+∞）上單調(diào)遞增．
綜上：①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
②當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，2a）上單調(diào)遞減，在（2a，+∞）上單調(diào)遞增．
③當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（0，-a）上單調(diào)遞減，在（-a，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x+

2

x

-lnx(x＞0)．
由（1）知，若a=1，當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，
所以f（x）_min=f（2）=3-ln2．
因?yàn)閷?duì)任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，
所以問題等價(jià)于對(duì)于任意x∈[1，e]，f（x）_min≥g（x）恒成立，
即3-ln2≥x²-2bx+4-ln2對(duì)于任意x∈[1，e]恒成立，
即2b≥x+

1

x

對(duì)于任意x∈[1，e]恒成立，
因?yàn)楹瘮?shù)y=x+

1

x

的導(dǎo)數(shù)y′=1-

1

x2

≥0在[1，e]上恒成立，
所以函數(shù)y=x+

1

x

在[1，e]上單調(diào)遞增，所以(x+

1

x

)max=e+

1

e

，
所以2b≥e+

1

e

，所以b≥

e

2

+

1

2e

，
故實(shí)數(shù)b的取值范圍為[

e

2

+

1

2e

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)最值問題．函數(shù)恒成立問題常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決．