Question

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x）的值不恒為0，又對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m，n，總有f(m)f(n)=mf(

n

2

)+nf(

m

2

)成立．
（1）求f（0）的值；
（2）求證：t•f（t）≥0對(duì)任意的t∈R成立；
（3）求所有滿足條件的函數(shù)f（x）．

Answer 1

分析：（1）由已知中任意的實(shí)數(shù)m，n，總有f(m)f(n)=mf(

n

2

)+nf(

m

2

)成立，令m=n=0，易得f（0）的值；
（2）由已知中任意的實(shí)數(shù)m，n，總有f(m)f(n)=mf(

n

2

)+nf(

m

2

)成立，令m=n，即可得到結(jié)論；
（3）由已知中任意的實(shí)數(shù)m，n，總有f(m)f(n)=mf(

n

2

)+nf(

m

2

)成立，令m=2n=2x，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）令m=n=0
∴f²（0）=0∴f（0）=0
（2）令m=n
∴

f

2

(m)=2mf(

m

2

)=4•

m

2

•f(

m

2

)＞0
∴對(duì)于任意的tt•f(t)=

1

4

f

2

(2t)≥0
∴即證
（3）令m=2n=2x
∴f(2x)•f(x)=2xf(

x

2

)+x•f(x)=f²（x）+xf（x）
當(dāng)f（x）=0時(shí)恒成立，
當(dāng)f（x）≠0時(shí)有，
∴f²（2x）=[f（x）+x]²=4xf（x）
∴f（x）=x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)恒成立問(wèn)題，其中在解答抽象函數(shù)的關(guān)鍵是“湊”，如（1）中令m=n=0，（2）中令m=n，（3）中令m=2n=2x．