Question

4．在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，PB=PD=2，AC∩BD=O．
（Ⅰ）證明：PC⊥BD
（Ⅱ）若E是PA的中點，且BE與平面PAC所成的角的正切值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，求二面角A-EC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明BD⊥AC，BD⊥PO，推出BD⊥面PAC，然后證明BD⊥PC．
（Ⅱ）說明OE是BE在面PAC上的射影，∠OEB是BE與面PAC所成的角．利用Rt△BOE，在Rt△PEO中，證明PO⊥AO．推出PO⊥面ABCD．
方法一：說明∠OHB是二面角A-EC-B的平面角．通過求解三角形求解二面角A-EC-B的余弦值．
方法二：以$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OP}$建立空間直角坐標系，求出平面BEC的法向量，平面AEC的一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）因為底面是菱形，所以BD⊥AC．（1分）

又PB=PD，且O是BD中點，所以BD⊥PO．（2分）
PO∩AC=O，所以BD⊥面PAC．（3分）
又PC?面PAC，所以BD⊥PC．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，OE是BE在面PAC上的射影，
所以∠OEB是BE與面PAC所成的角．（5分）
在Rt△BOE中，$\frac{BO}{OE}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，BO=1，所以$OE=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．
在Rt△PEO中，$PO=\sqrt{3}$，$OE=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，所以$PE=\sqrt{P{O^2}-O{E^2}}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．
所以$PA=\sqrt{6}$，又$PO=AO=\sqrt{3}$，
所以PO²+AO²=PA²，所以PO⊥AO．（6分）
又PO⊥BD，BD∩AO=O，所以PO⊥面ABCD．（7分）
方法一：
過O做OH⊥EC于H，由（Ⅰ）知BD⊥面PAC，所以BD⊥EC，所以EC⊥面BOH，BH⊥EC，
所以∠OHB是二面角A-EC-B的平面角．（9分）
在△PAC中，$PA=PC=\sqrt{6}，AC=2\sqrt{3}$，所以PA²+PC²=AC²，即AP⊥PC．
所以$CE=\sqrt{P{C^2}+P{E^2}}=\frac{{\sqrt{30}}}{2}$．（10分）
${S_{△EOC}}=\frac{1}{2}OC•（{\frac{1}{2}PO}）=\frac{1}{2}EC•OH$，得$OH=\frac{{\sqrt{30}}}{10}$，（11分）
$BH=\frac{{\sqrt{130}}}{10}$，$cos∠OHB=\frac{OH}{BH}=\frac{{\sqrt{39}}}{13}$，所以二面角A-EC-B的余弦值為$\frac{{\sqrt{39}}}{13}$．（12分）
方法二：
如圖，以$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OP}$建立空間直角坐標系，
$A（{\sqrt{3}，0，0}）$，B（0，1，0），$C（{-\sqrt{3}，0，0}）$，$P（{0，0，\sqrt{3}}）$，$E（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，$\overrightarrow{CB}=（{\sqrt{3}，1，0}）$，$\overrightarrow{CE}=（{\frac{3}{2}\sqrt{3}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$．（9分）
設(shè)面BEC的法向量為$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{CB}⊥\overrightarrow n\\ \overrightarrow{CE}⊥\overrightarrow n\end{array}\right.，即\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{CB}•\overrightarrow n=0\\ \overrightarrow{CE}•\overrightarrow n=0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x+y=0\\ \frac{3}{2}\sqrt{3}x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}z=0\end{array}\right.$，得方程的一組解為$x=-1，y=\sqrt{3}，z=3$，
即$\overrightarrow n=（{-1，\sqrt{3}，3}）$．（10分）
又面AEC的一個法向量為$\overrightarrow{OB}=（{0，1，0}）$，（11分）
所以$cos＜\overrightarrow{OB}，\overrightarrow n＞=\frac{{\overrightarrow{OB}•\overrightarrow n}}{{|{\overrightarrow{OB}}|•|{\overrightarrow n}|}}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{13}}}=\frac{{\sqrt{39}}}{13}$，所以二面角A-EC-B的余弦值為$\frac{{\sqrt{39}}}{13}$．（12分）

點評 本題考查二面角的平面角的求法，直線與平面垂直的判定定理的應用，考查空間想象能力以及計算能力．