Question

已知各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{x_n}，滿足xnan=xn+1an+1=xn+2an+2（n∈N^*）
（Ⅰ）證明數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）若

1

a1

=1，

1

a8

=15，當(dāng)m＞1時(shí)，不等式a_n+1+a_n+2+…+a_2n＞

12

35

（log_（m+1）x-log_mx+1）對(duì)n≥2的正整數(shù)恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由于xnan=xn+1an+1=xn+2an+2（n∈N^*），各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{x_n}，兩邊取對(duì)數(shù)可得，a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2，再利用{a_n}是等比數(shù)列即可證明數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列．
（II）由（Ⅰ）設(shè){

1

an

}的公差為d，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得d，進(jìn)而得到a_n．令f（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n，則f（n+1）=a_n+2+a_n+3+…+a_2n+a_2n+a_2n+1+a_2n+2，由f（n+1）-f（n）＞0．可得函數(shù)f（n）單調(diào)遞增，當(dāng)n≥2時(shí)，f（n）_min=f（2），再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答：（I）證明：∵滿足xnan=xn+1an+1=xn+2an+2（n∈N^*），
各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{x_n}，
∴a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2，
設(shè)a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2=p，
∴

1

an

=

lnxn

p

，

1

an+1

=

lnxn+1

p

，

1

an+2

=

lnxn+2

p

，
∴

1

an

+

1

an+2

=

ln(xn•xn+2)

p

，
又∵{a_n}是等比數(shù)列，∴xn•xn+2=

x

2 n+1

．
∴

1

an

+

1

an+2

=

ln(xn•xn+2)

p

=

2lnxn+1

p

=

2

an+1

．
∴數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列．
（II）解：由（Ⅰ）設(shè){

1

an

}的公差為d，知

1

a8

=

1

a1

+(8-1)d，
∴15=1+7d，解得d=2，
∴an=

1

2n-1

，
令f（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n，
則f（n+1）=a_n+2+a_n+3+…+a_2n+a_2n+a_2n+1+a_2n+2，
∴f（n+1）-f（n）=

1

4n+1

+

1

4n+3

-

1

2n-1

＞0．
∴函數(shù)f（n）單調(diào)遞增，當(dāng)n≥2時(shí)，f（n）_min=f（2）=a₃+a₄=

1

5

+

1

7

．
∴

12

35

＞

12

35

(lo

g

x m+1

-lo

g

x+1 m

)，即lo

g

x m+1

＜lo

g

(x+1) m

，

lgx

lg(m+1)

＜

lgx

lgm

，lgx[lg（m+1）-lgm]＞0．
而m＞1，∴x的取值范圍是（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：數(shù)列掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、數(shù)列的單調(diào)性等是解題的關(guān)鍵．