Question

19．如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4，E是PD的中點．
（1）求證：平面PDC⊥平面PAD；
（2）求證：PB∥平面EAC；
（3）求直線EC與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）通過證明PA⊥CD．AD⊥CD，證明CD⊥平面PAD，即可證明平面PDC⊥平面PAD；
（2）證明PB∥EO，即可證明PB∥平面EAC；
（3）設AD的中點為G，連結EG，CG，說明∠ECG為EC與平面ABCD所成的角，在直角三角形ECG中，求解即可．

解答 （1）證明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD．
又∵四邊形ABCD是矩形，∴AD⊥CD．…（2分）
又PA∩AD=A，PA，AD?平面PAD，∴CD⊥平面PAD．
又∵CD?平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD．…（4分）
（2）連結BD交AC于O，連結OE，
因為E、O分別是PD、BD的中點，
所以PB∥EO，EO?平面EAC，
所以PB∥平面EAC…（7分）
（3）設AD的中點為G，連結EG，CG，
因為E、G分別是PD、AD的中點，
所以PA∥EG，∵PA⊥平面ABCD，
∴EG⊥平面ABCD，
∴∠ECG為EC與平面ABCD所成的角．…（9分）
在直角三角形ECG中，EG=$\frac{1}{2}$PA=1，CG=$\sqrt{D{G}^{2}+D{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
所以tan∠ECG=$\frac{EG}{CG}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，即所求的正切值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$…（12分）

點評 本題考查直線與平面垂直，直線與平面平行的判定定理以及直線與平面市場價的求法，考查計算能力以及空間想象能力．