Question

19．平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=5與拋物線C：x²=2py（p＞0）交于點(diǎn)A，B，若△OAB的垂心為C的焦點(diǎn)，則p的值為2．

Answer 1

分析 將y=5代入拋物線的方程，可得A，B的坐標(biāo)，求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由垂心的性質(zhì)可得AF⊥OB，即有k_AF•k_OB=-1，再由斜率公式，解方程即可得到p的值．

解答 解：由y=5代入拋物線C：x²=2py可得，
A（-$\sqrt{10P}$，5），B（$\sqrt{10P}$，5），
由拋物線x²=2py可得焦點(diǎn)為F（0，$\frac{p}{2}$），
由△OAB的垂心為C的焦點(diǎn)，可得
AF⊥OB，即有k_AF•k_OB=-1，
即為$\frac{5-\frac{p}{2}}{-\sqrt{10p}}$•$\frac{5}{\sqrt{10p}}$=-1，
解方程可得p=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查三角形的垂心的性質(zhì)，同時(shí)考查直線的斜率公式的運(yùn)用，屬于中檔題．