Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（-

2

3

，-

1

3

）內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)小于等于0在區(qū)間（-

2

3

，-

1

3

）內(nèi)恒成立，分離出參數(shù)a，求出函數(shù)的范圍，得到a的范圍．

解答：解：對(duì)函數(shù)f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．求導(dǎo)得f'（x）=3x²+2ax+1，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間（-

2

3

，-

1

3

）內(nèi)是減函數(shù)，
所以當(dāng)x∈（-

2

3

，-

1

3

）時(shí)f′（x）≤0恒成立，
結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知

f′(- 2 3 )≤0 f′(- 1 3 )≤0

，即

3×(- 2 3 )2+2a×(- 2 3 )+1≤0 3×(- 1 3 )2+2a×(- 1 3 )+1≤0

解得a≥2．
故a的取值范圍為（2，+∞）

點(diǎn)評(píng)：解決函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性已知求參數(shù)的范圍的問(wèn)題，遞增時(shí)令導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立；遞減時(shí)，令導(dǎo)數(shù)小于等于0恒成立．