Question

對于定義域為的函數(shù)，如果存在區(qū)間，同時滿足：
①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②當(dāng)定義域是，值域也是，則稱是函數(shù)
的“好區(qū)間”.
（1）設(shè)（其中且），判斷是否存在“好區(qū)間”，并
說明理由；
（2）已知函數(shù)有“好區(qū)間”，當(dāng)變化時，求的最大值.

Answer 1

（1）不存在“好區(qū)間”；（2）的最大值為.

試題分析：（1）先求出的定義域.可知要對分情況討論，當(dāng)時，定義域，在內(nèi)是增函數(shù)；當(dāng)時，定義域，在內(nèi)還是增函數(shù).從而得出，即方程在定義域內(nèi)有兩個不等的實數(shù)根，即在定義域內(nèi)有兩個不等的實數(shù)根.再用換元法，設(shè)，則相當(dāng)于兩個不等的實數(shù)根，即在內(nèi)有兩個不等的實數(shù)根,通過研究二次函數(shù)，發(fā)現(xiàn)在內(nèi)有兩個不等的實數(shù)根無解，所以函數(shù)不存在“好區(qū)間”；（2）函數(shù)有“好區(qū)間”，由于定義域為，或，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以是方程，即方程有同號的相異實數(shù)根，然后再用判別式求出的范圍，再用韋達定理用表示出，結(jié)合的范圍即可求出的最大值.
試題解析：（1）由.              2分
①當(dāng)時，，此時定義域，，，
，，，
，，
，
在內(nèi)是增函數(shù)；              4分
②當(dāng)時，，此時定義域，
同理可證在內(nèi)是增函數(shù)；              6分
存在“好區(qū)間”，
關(guān)于的方程在定義域內(nèi)有兩個不等的實數(shù)根.
即在定義域內(nèi)有兩個不等的實數(shù)根.(*)
設(shè)，則(*)，
即在內(nèi)有兩個不等的實數(shù)根，
設(shè)，則無解.
所以函數(shù)不存在“好區(qū)間”.               8分
（2）由題設(shè)，函數(shù)有“好區(qū)間”，
或，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，所以是方程，即方程有同號的相異實數(shù)根. 12分
，同號，或.
,.
當(dāng)，取得最大值.              16分