Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若關(guān)于的方程有實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）當時，方程有實數(shù)根.

【解析】試題分析：（1）函數(shù)求導(dǎo)，從而得單調(diào)區(qū)間；

（2）方程有實數(shù)根，即函數(shù)存在零點，分類討論函數(shù)的單調(diào)性，從而得有零點時參數(shù)的范圍.

試題解析：

（1）依題意，得 ，.

令，即.

解得；

令，即.

解得.

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）由題得， .

依題意，方程有實數(shù)根，

即函數(shù)存在零點.

又.

令，得.

當時，.

即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

而， .

所以函數(shù)存在零點；

當時，，隨的變化情況如下表：

所以為函數(shù)的極小值，也是最小值.

當，即時，函數(shù)沒有零點；

當，即時，注意到，

，

所以函數(shù)存在零點.

綜上所述，當時，方程有實數(shù)根.